解説

方針・初手

$\cos 4\theta$ をそのまま扱うより、$\cos 2\theta$ や $\sin^2\theta$ でまとめて二次式にするのが有効である。

区間 $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ では $2\theta$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ まで動くので、$\cos 2\theta$ の取り得る範囲が明確になる。これにより、最大値・最小値の問題を二次関数の範囲の問題に帰着できる。

解法1

$\cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1$、また

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=\cos 4\theta-4\sin^2\theta \\ &=(2\cos^2 2\theta-1)-4\cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2} \\ &=2\cos^2 2\theta+2\cos 2\theta-3 \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ x=\cos 2\theta $$

とおく。$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ より

$$ 0^\circ \leqq 2\theta \leqq 180^\circ $$

であるから、

$$ -1 \leqq x \leqq 1 $$

である。

したがって、

$$ f(\theta)=2x^2+2x-3 $$

となる。これを平方完成すると、

$$ f(\theta)=2\left(x+\frac12\right)^2-\frac72 $$

である。

よって、この式は $x=-\dfrac12$ のとき最小となり、

$$ f_{\min}=-\frac72 $$

を得る。

$x=\cos 2\theta=-\dfrac12$ より、

$$ 2\theta=120^\circ $$

したがって

$$ \theta=60^\circ $$

である。

次に最大値は、$x\in[-1,1]$ の端で調べればよい。

**(i)**

$x=1$ のとき

$$ f=2+2-3=1 $$

**(ii)**

$x=-1$ のとき

$$ f=2-2-3=-3 $$

したがって最大値は

$$ f_{\max}=1 $$

であり、これは $x=1$、すなわち

$$ \cos 2\theta=1 \iff 2\theta=0^\circ \iff \theta=0^\circ $$

のときにとる。

解法2

$s=\sin^2\theta$ とおくと、$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ より

$$ 0\leqq s\leqq 1 $$

である。

また、

$$ \cos 4\theta=1-8\sin^2\theta\cos^2\theta $$

かつ $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-s$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=\cos 4\theta-4\sin^2\theta \\ &=1-8s(1-s)-4s \\ &=8s^2-12s+1 \end{aligned} $$

となる。

これを平方完成すると、

$$ f(\theta)=8\left(s-\frac34\right)^2-\frac72 $$

である。

よって最小値は

$$ -\frac72 $$

であり、これは

$$ s=\frac34 $$

すなわち

$$ \sin^2\theta=\frac34 $$

のときにとる。区間 $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ では $\sin\theta\geqq 0$ なので、

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2} $$

より

$$ \theta=60^\circ $$

である。

また最大値は端点で比較して、

$$ f(0)=1,\qquad f(1)=-3 $$

より

$$ f_{\max}=1 $$

である。

解説

この問題の本質は、三角関数のまま極値を追うことではなく、適切な置換によって二次関数に直すことである。

$\cos 4\theta$ があるので $\cos 2\theta$ にまとめる方法が自然であり、区間 $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ から $\cos 2\theta\in[-1,1]$ を確定できる点が重要である。また、$\sin^2\theta$ を変数としても同様に処理できる。

答え

最大値は

$$ 1 $$

であり、$\theta=0^\circ$ のときにとる。

最小値は

$$ -\frac72 $$

であり、$\theta=60^\circ$ のときにとる。