解説

方針・初手

四隅から切り取る正方形の一辺を $x$ cm とおくと、できる箱の高さは $x$ cm、底面の縦横はそれぞれ $10-2x$ cm、$20-2x$ cm となる。

したがって容積を $x$ の関数として表し、その最大値を求めればよい。切り取る長さには

$$ 0<x<5 $$

という条件がある。

解法1

四隅から一辺 $x$ cm の正方形を切り取ると、箱の容積 $V$ は

$$ V=x(20-2x)(10-2x) $$

である。

これを展開すると

$$ V=4x^3-60x^2+200x $$

となる。

この関数を $0<x<5$ で最大にすればよいので、微分すると

$$ V'=12x^2-120x+200 $$

である。これが $0$ となる $x$ を求めると

$$ 12x^2-120x+200=0 $$

$$ 3x^2-30x+50=0 $$

$$ x=\frac{30\pm\sqrt{900-600}}{6} =\frac{30\pm10\sqrt3}{6} =5\pm\frac{5\sqrt3}{3} $$

となる。

このうち

$$ 0<x<5 $$

を満たすのは

$$ x=5-\frac{5\sqrt3}{3} $$

のみである。

さらに

$$ V''=24x-120 $$

であるから、この値において $V''<0$ となり、ここで極大となる。したがって最大値はこのときの $V$ である。

$$ V=\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right) \left(20-2\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right)\right) \left(10-2\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right)\right) $$

各因子を整理すると

$$ 20-2\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right)=10+\frac{10\sqrt3}{3}, \qquad 10-2\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right)=\frac{10\sqrt3}{3} $$

であるから、

$$ V=\left(5-\frac{5\sqrt3}{3}\right)\left(10+\frac{10\sqrt3}{3}\right)\frac{10\sqrt3}{3} $$

これを計算すると

$$ V=\frac{1000\sqrt3}{9} $$

となる。

解説

この問題では、切り取る正方形の一辺を文字でおけば、箱の高さと底面の大きさがすべて $x$ で表せることが重要である。

また、$x$ は自由に取れるわけではなく、底面の短辺 $10-2x$ が正でなければならないので

$$ 0<x<5 $$

という定義域の確認が必要である。

そのうえで容積を関数として微分し、極大値を調べればよい。典型的な「最大値を求める」問題である。

答え

作られる箱の容積の最大値は

$$ \frac{1000\sqrt3}{9}\ \mathrm{cm^3} $$

である。