解説

方針・初手

まず積分を実行して、$g(a)$ を $a$ の式として表す。

その後、$a$ を変数とみて $g(a)$ を微分し、区間 $-\dfrac{3}{2} \leqq a \leqq \dfrac{3}{2}$ における増減を調べれば、最大値と最小値が求まる。

解法1

**(1)**

$g(a)$ を $a$ を用いて表す。

$$ g(a)=\int_0^1 \left(x^2-ax+\frac{a^3}{6}\right),dx $$

であるから、項別に積分して

$$ g(a)=\int_0^1 x^2,dx-a\int_0^1 x,dx+\frac{a^3}{6}\int_0^1 1,dx $$

となる。

それぞれ計算すると、

$$ \int_0^1 x^2,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}, \qquad \int_0^1 x,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}, \qquad \int_0^1 1,dx=1 $$

より、

$$ g(a)=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{6} $$

したがって、

$$ g(a)=\frac{a^3-3a+2}{6} $$

である。

なお、

$$ a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2) $$

より、

$$ g(a)=\frac{(a-1)^2(a+2)}{6} $$

と因数分解して表すこともできる。

**(2)**

$-\dfrac{3}{2} \leqq a \leqq \dfrac{3}{2}$ のときの最大値・最小値を求める。

$$ g(a)=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{6} $$

を $a$ で微分すると、

$$ g'(a)=\frac{a^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{a^2-1}{2} $$

となる。

よって、

• $-\dfrac{3}{2} \leqq a<-1$ では $g'(a)>0$
• $-1<a<1$ では $g'(a)<0$
• $1<a\leqq \dfrac{3}{2}$ では $g'(a)>0$

であるから、$g(a)$ は

• $-\dfrac{3}{2} \leqq a \leqq -1$ で増加
• $-1 \leqq a \leqq 1$ で減少
• $1 \leqq a \leqq \dfrac{3}{2}$ で増加

する。

したがって、候補は端点と停留点 $a=-1,1$ である。各値を調べると、

$$ g\left(-\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{9}{16} =\frac{25}{48} $$

$$ g(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $$

$$ g(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0 $$

$$ g\left(\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{9}{16} =\frac{7}{48} $$

である。

よって、この区間で

$$ \max g(a)=\frac{2}{3}, \qquad \min g(a)=0 $$

となる。

それぞれそのときの $a$ の値は、

• 最大値 $\dfrac{2}{3}$ をとるのは $a=-1$
• 最小値 $0$ をとるのは $a=1$

である。

解説

積分の中に $a$ が含まれていても、この問題では積分区間が固定されているので、$a$ は定数としてそのまま外に出して計算すればよい。

その後は $g(a)$ を $a$ の三次関数として見ればよい。最大値・最小値は、微分して増減を調べ、端点と停留点の値を比較するのが基本である。

また、

$$ g(a)=\frac{(a-1)^2(a+2)}{6} $$

と因数分解できるので、特に $a=1$ のとき最小値 $0$ をとることは見通しが立てやすい。

答え

$$ g(a)=\frac{1}{3}-\frac{a}{2}+\frac{a^3}{6} =\frac{a^3-3a+2}{6} $$

また、$-\dfrac{3}{2} \leqq a \leqq \dfrac{3}{2}$ において、

最大値は $\dfrac{2}{3}$、そのとき $a=-1$

最小値は $0$、そのとき $a=1$

である。