解説

方針・初手

まず

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおいて、$t$ のとる値の範囲を求める。

すると （2） の式は $t$ の多項式に直せるので、あとは $t\le -2$ または $t\ge 2$ の範囲でその多項式の値域を調べればよい。

解法1

**(1)**

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおくと、

$$ tx=x^2+1 $$

より

$$ x^2-tx+1=0 $$

が成り立つ。

ここで $x$ は実数であるから、この2次方程式は実数解をもたねばならない。したがって判別式を $D$ とすると

$$ D=t^2-4\ge 0 $$

である。よって

$$ t\le -2 \quad \text{または} \quad t\ge 2 $$

となる。

逆に、$t\le -2$ または $t\ge 2$ ならば $t^2-4\ge 0$ であるから、方程式

$$ x^2-tx+1=0 $$

は実数解をもつ。また定数項が $1$ であるから、その解は $0$ にはならない。よって実際に $x\ne 0$ を満たす実数が存在する。

したがって、$x+\dfrac{1}{x}$ のとる値の範囲は

$$ (-\infty,-2]\cup[2,\infty) $$

である。

**(2)**

求める式を

$$ y=x^3-x^2+x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3} $$

とする。

（1） と同様に

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおくと、

$$ t\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty) $$

である。

ここで

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2 $$

および

$$ x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t $$

であるから、

$$ \begin{aligned} y &=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right) \\ &=(t^3-3t)-(t^2-2)+t \\ &=t^3-t^2-2t+2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、関数

$$ f(t)=t^3-t^2-2t+2 $$

の、$t\le -2$ または $t\ge 2$ における値域を求めればよい。

微分すると

$$ f'(t)=3t^2-2t-2 $$

であり、$f'(t)=0$ の解は

$$ t=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3} $$

である。これらはともに $-2$ と $2$ の間にある。したがって

$$ t\le -2,\ t\ge 2 $$

では常に

$$ f'(t)>0 $$

である。よって $f(t)$ は区間 $(-\infty,-2]$、$[2,\infty)$ のそれぞれで単調増加である。

そこで端の値を調べると、

$$ f(-2)=-8-4+4+2=-6 $$

$$ f(2)=8-4-4+2=2 $$

である。

したがって、

$$ t\in(-\infty,-2] \quad \Rightarrow \quad y\in(-\infty,-6] $$

$$ t\in[2,\infty) \quad \Rightarrow \quad y\in[2,\infty) $$

となるので、求める値域は

$$ (-\infty,-6]\cup[2,\infty) $$

である。

解説

（1） は、不等式で処理してもよいが、（2） で $x+\dfrac{1}{x}$ を使うことになるので、最初から

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおいて判別式で値域を出す方針が自然である。

また （2） では、与式をそのまま扱うのではなく、

$$ x^2+\frac{1}{x^2},\qquad x^3+\frac{1}{x^3} $$

を $t$ で表すのが典型である。こうすると1変数の3次関数の値域の問題に帰着でき、単調性を調べればよい。

答え

**(1)**

$$ x+\frac{1}{x}\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty) $$

**(2)**

$$ x^3-x^2+x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\in(-\infty,-6]\cup[2,\infty) $$