解説

方針・初手

$x+y$ と $xy$ をおくと、条件式も求める式も簡潔になる。 そこで

$$ s=x+y,\quad p=xy $$

とおいて整理する。

解法1

条件

$$ x^2+xy+y^2=3 $$

に対して、

$$ x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy $$

であるから、

$$ s^2-p=3 $$

すなわち

$$ p=s^2-3 $$

を得る。

求める値を $T$ とすると、

$$ T=(x-1)y-x=xy-(x+y)=p-s $$

であるから、上の関係式を代入して

$$ T=s^2-s-3 $$

となる。

次に、$x,y$ は実数であるから、$x,y$ は2次方程式

$$ t^2-st+p=0 $$

の実数解である。よって判別式が $0$ 以上でなければならないので、

$$ s^2-4p\geqq 0 $$

である。ここに $p=s^2-3$ を代入すると、

$$ s^2-4(s^2-3)\geqq 0 $$

$$ 12-3s^2\geqq 0 $$

$$ s^2\leqq 4 $$

したがって

$$ -2\leqq s\leqq 2 $$

である。

よって、$T=s^2-s-3$ の $-2\leqq s\leqq 2$ における値の範囲を求めればよい。

これは上に開く2次関数であり、頂点は

$$ s=\frac12 $$

であるから、最小値は

$$ \left(\frac12\right)^2-\frac12-3 =\frac14-\frac12-3 =-\frac{13}{4} $$

となる。

また最大値は区間の端で調べればよく、

$$ T(-2)=(-2)^2-(-2)-3=4+2-3=3 $$

$$ T(2)=2^2-2-3=-1 $$

であるから、最大値は $3$ である。

以上より、

$$ -\frac{13}{4}\leqq (x-1)y-x\leqq 3 $$

である。

解説

この問題では、条件式 $x^2+xy+y^2=3$ をそのまま扱うよりも、$x+y$ と $xy$ にまとめるのが有効である。 実際、求める式 $(x-1)y-x$ も $xy-(x+y)$ と変形できるため、$s=x+y$ による1変数の問題に落ちる。

また、$x,y$ が実数であることは、$x,y$ を解にもつ2次方程式の判別式で表現するのが典型手法である。ここで $s$ の範囲が定まり、最後は2次関数の最大最小になる。

答え

$$ -\frac{13}{4}\leqq (x-1)y-x\leqq 3 $$

したがって、とる値の範囲は

$$ \left[-\frac{13}{4},,3\right] $$

である。