解説

方針・初手

まず条件 $|x+y|+|x-y|\leqq 2$ を図形的に簡単な形に直す。

実は

$$ |x+y|+|x-y|=2\max{|x|,|y|} $$

であるから，条件は

$$ |x|\leqq 1,\quad |y|\leqq 1 $$

と同値である。

したがって，求めるのは放物線

$$ y=x^2-2ax $$

のうち，正方形

$$ -1\leqq x\leqq 1,\quad -1\leqq y\leqq 1 $$

の内部にある部分における $y$ の最大値・最小値である。

解法1

まず

$$ |x+y|+|x-y|=2\max{|x|,|y|} $$

を確認する。

**(i)**

$|x|\geqq |y|$ のとき

このとき $x+y$ と $x-y$ は同符号または一方が $0$ であり，

$$ |x+y|+|x-y|=2|x| $$

となる。

**(ii)**

$|y|\geqq |x|$ のとき

同様に

$$ |x+y|+|x-y|=2|y| $$

となる。

よって常に

$$ |x+y|+|x-y|=2\max{|x|,|y|} $$

である。したがって与えられた条件は

$$ \max{|x|,|y|}\leqq 1 $$

すなわち

$$ |x|\leqq 1,\quad |y|\leqq 1 $$

と同値である。

ここで

$$ y=x^2-2ax=(x-a)^2-a^2 $$

である。

最大値

条件 $|y|\leqq 1$ より

$$ y\leqq 1 $$

であるから，最大値は高くても $1$ である。

一方，

$$ f(x)=x^2-2ax $$

とおくと，

$$ f(-1)=1+2a,\quad f(1)=1-2a $$

である。したがって

$$ \bigl(f(-1)-1\bigr)\bigl(f(1)-1\bigr)=(2a)(-2a)\leqq 0 $$

より，連続性から $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすある $x$ で

$$ f(x)=1 $$

となる。

このとき $|x|\leqq 1,\ |y|=1\leqq 1$ であるから，もとの条件も満たす。

よって最大値は

$$ 1 $$

である。

最小値

条件 $|y|\leqq 1$ より

$$ y\geqq -1 $$

である。したがって最小値は $-1$ 以上である。

ここで $y=(x-a)^2-a^2$ を見る。

**(i)**

$|a|\leqq 1$ のとき

頂点 $x=a$ は区間 $[-1,1]$ に含まれる。このとき

$$ y=(x-a)^2-a^2\geqq -a^2 $$

であり，$x=a$ のとき等号が成り立つ。

さらに $|a|\leqq 1$ なら

$$ -a^2\geqq -1 $$

であるから，この値は条件 $|y|\leqq 1$ にも反しない。

よってこの場合の最小値は

$$ -a^2 $$

である。

**(ii)**

$a\geqq 1$ のとき

$$ f(1)=1-2a\leqq -1,\quad f(-1)=1+2a>-1 $$

であるから，連続性より $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすある $x$ で

$$ f(x)=-1 $$

となる。

もともと $y\geqq -1$ であるから，この場合の最小値は

$$ -1 $$

である。

**(iii)**

$a\leqq -1$ のとき

今度は

$$ f(-1)=1+2a\leqq -1,\quad f(1)=1-2a>-1 $$

であるから，同様に $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすある $x$ で

$$ f(x)=-1 $$

となる。

したがってこの場合の最小値も

$$ -1 $$

である。

以上より，最小値は

$$ \begin{cases} -a^2 & (|a|\leqq 1),\\ -1 & (|a|\geqq 1) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の核心は，最初の絶対値条件を

$$ |x|\leqq 1,\quad |y|\leqq 1 $$

という正方形の条件に直すことである。これにより，「放物線 $y=x^2-2ax$ のうち正方形内に入る部分での $y$ の範囲」を調べる問題になる。

最大値は，上限が $1$ であることに気づいたうえで，放物線が実際に $y=1$ と交わることを示せばよい。最小値は，頂点が正方形の横幅 $[-1,1]$ の中にあるかどうかで場合分けすると整理しやすい。

答え

最大値は

$$ 1 $$

である。

最小値は

$$ \begin{cases} -a^2 & (|a|\leqq 1),\\ -1 & (|a|\geqq 1) \end{cases} $$

である。