解説

方針・初手

条件 $x^2+y^2=1$ は、点 $(x,y)$ が単位円上にあることを表す。 求める $2x-y$ はベクトル $(x,y)$ と $(2,-1)$ の内積であるから、内積の最大値を考えるとよい。

解法1

$2x-y$ を内積として見ると、

$$ 2x-y=(x,y)\cdot(2,-1) $$

である。

ここで、コーシー・シュワルツの不等式より

$$ \left\{(x,y)\cdot(2,-1)\right\}^2 \le (x^2+y^2)(2^2+(-1)^2) $$

が成り立つ。条件 $x^2+y^2=1$ を代入すると、

$$ (2x-y)^2 \le 1\cdot 5=5 $$

となるので、

$$ -\sqrt{5}\le 2x-y\le \sqrt{5} $$

である。したがって最大値は $\sqrt{5}$ である。

さらに、等号成立条件は $(x,y)$ と $(2,-1)$ が同じ向きのとき、すなわち

$$ (x,y)=k(2,-1) $$

となるときである。これを $x^2+y^2=1$ に代入すると、

$$ (2k)^2+(-k)^2=1 $$

$$ 5k^2=1 $$

$$ k=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

より、

$$ x=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad y=-\frac{1}{\sqrt{5}} $$

のとき最大値 $\sqrt{5}$ をとる。

解法2

$x^2+y^2=1$ より、ある実数 $\theta$ を用いて

$$ x=\cos\theta,\quad y=\sin\theta $$

とおける。

このとき、

$$ 2x-y=2\cos\theta-\sin\theta $$

である。これを $a\cos\theta+b\sin\theta$ の形の合成としてまとめると、

$$ 2\cos\theta-\sin\theta =\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\cos\theta-\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\theta\right) $$

ここで、$\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}},\ \sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ となる $\alpha$ をとれば、

$$ 2\cos\theta-\sin\theta =\sqrt{5}\cos(\theta+\alpha) $$

と表せる。

$\cos(\theta+\alpha)\le 1$ であるから、

$$ 2x-y\le \sqrt{5} $$

となり、最大値は

$$ \sqrt{5} $$

である。

解説

条件 $x^2+y^2=1$ があるとき、$ax+by$ の最大値・最小値は非常に典型的な問題である。 この種の問題では、内積とみてコーシー・シュワルツの不等式を使う方法が最も直接的である。

また、$x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ とおいて三角関数に直す方法も標準的であり、式 $a\cos\theta+b\sin\theta$ の最大値が $\sqrt{a^2+b^2}$ になることを確認できる。

答え

最大値は

$$ \sqrt{5} $$

である。