解説

方針・初手

極大値・極小値の情報は、まず導関数を調べるのが基本である。

この関数は

$$ f(x)=ax^3-x^2+b $$

であるから、$f'(x)=0$ を解いて極値をとる $x$ を求め、そのときの関数値を条件 「極大値が $3$、極小値が $0$」 に当てはめればよい。

解法1

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=3ax^2-2x=x(3ax-2) $$

となる。

極大値と極小値の両方をもつので、停留点は相異なる2つ必要であり、$a\neq 0$ である。

したがって極値をとる $x$ は

$$ x=0,\ \frac{2}{3a} $$

である。

次に2次導関数を調べると

$$ f''(x)=6ax-2 $$

であるから、

$$ f''(0)=-2<0 $$

より、$x=0$ では極大となる。

よって極大値は

$$ f(0)=b $$

であり、これが $3$ だから

$$ b=3 $$

である。

一方、$x=\dfrac{2}{3a}$ では

$$ f''\left(\frac{2}{3a}\right)=6a\cdot \frac{2}{3a}-2=2>0 $$

となるので、ここで極小となる。

したがって極小値は

$$ f\left(\frac{2}{3a}\right)=0 $$

を満たす。

これを計算すると

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{2}{3a}\right) &=a\left(\frac{2}{3a}\right)^3-\left(\frac{2}{3a}\right)^2+b \\ &=a\cdot \frac{8}{27a^3}-\frac{4}{9a^2}+b \\ &=\frac{8}{27a^2}-\frac{12}{27a^2}+b \\ &=b-\frac{4}{27a^2} \end{aligned} $$

である。

これが $0$ で、しかも $b=3$ だから

$$ 3-\frac{4}{27a^2}=0 $$

すなわち

$$ \frac{4}{27a^2}=3 $$

より

$$ 81a^2=4 $$

したがって

$$ a^2=\frac{4}{81} $$

であり、

$$ a=\pm \frac{2}{9} $$

を得る。

よって

$$ a=\pm \frac{2}{9},\quad b=3 $$

である。

解説

この問題の要点は、$x=0$ が必ず極値の候補になることに早く気づくことである。

実際、

$$ f'(x)=x(3ax-2) $$

と因数分解でき、さらに

$$ f''(0)=-2<0 $$

であるから、$x=0$ は常に極大点である。したがって極大値の条件からただちに $b=3$ が決まる。

そのあと残るもう1つの極値を極小値 $0$ として処理すれば、$a$ が求まる。$a$ の符号はどちらでも条件を満たすので、$a$ は2通りあることに注意すべきである。

答え

$$ a=\pm \frac{2}{9},\qquad b=3 $$

したがって、

**(ア)**

$\pm \dfrac{2}{9}$、（イ） $3$ である。