解説

方針・初手

区間 $0\le x\le 1$ における最大値・最小値は、端点 $x=0,1$ と、導関数 $f'(x)=0$ となる点を調べればよい。

したがって、まず増減を判定し、極値をとる候補を整理する。

解法1

$$ f(x)=3x^3-k^2x+2 $$

であるから、

$$ f'(x)=9x^2-k^2=(3x-k)(3x+k) $$

となる。

$k>0$ より、$x\ge 0$ では $3x+k>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $3x-k$ の符号で決まる。

したがって、$x=\dfrac{k}{3}$ が増減の境目になる。ただし、この点が区間 $[0,1]$ に入るかどうかで場合分けが必要である。

**(i)**

$0<k<3$ のとき

このとき $\dfrac{k}{3}\in(0,1)$ である。

$f'(x)$ の符号は

• $0\le x<\dfrac{k}{3}$ で $f'(x)<0$
• $\dfrac{k}{3}<x\le 1$ で $f'(x)>0$

となるから、$f(x)$ は

• $0\le x\le \dfrac{k}{3}$ で減少
• $\dfrac{k}{3}\le x\le 1$ で増加

する。

よって、最小値は $x=\dfrac{k}{3}$ でとる。

$$ f\left(\frac{k}{3}\right) =3\left(\frac{k}{3}\right)^3-k^2\left(\frac{k}{3}\right)+2 =\frac{k^3}{9}-\frac{k^3}{3}+2 =2-\frac{2k^3}{9} $$

また、最大値は端点 $x=0,1$ のいずれかでとる。

$$ f(0)=2,\qquad f(1)=3-k^2+2=5-k^2 $$

ここで、

$$ 5-k^2\ge 2 \iff k^2\le 3 \iff 0<k\le \sqrt{3} $$

であるから、

• $0<k\le \sqrt{3}$ のとき最大値は $5-k^2$
• $\sqrt{3}\le k<3$ のとき最大値は $2$

となる。

**(ii)**

$k\ge 3$ のとき

このとき $\dfrac{k}{3}\ge 1$ であるから、区間 $0\le x\le 1$ では常に

$$ f'(x)=9x^2-k^2\le 9-k^2\le 0 $$

となる。

したがって、$f(x)$ は $[0,1]$ で単調減少するので、

• 最大値は $x=0$ でとり $2$
• 最小値は $x=1$ でとり $5-k^2$

である。

解説

この問題の要点は、極値の候補を

• 区間の端点
• $f'(x)=0$ となる点

に絞ることである。

さらに、停留点 $x=\dfrac{k}{3}$ が区間 $[0,1]$ に入るかどうかは $k<3$ か $k\ge 3$ かで決まる。そのため、まず $k=3$ を境に場合分けし、その後に端点の値 $f(0),f(1)$ を比較すれば整理しやすい。

答え

最大値・最小値は次の通りである。

**(i)**

$0<k\le \sqrt{3}$ のとき

$$ \text{最大値}=5-k^2,\qquad \text{最小値}=2-\frac{2k^3}{9} $$

**(ii)**

$\sqrt{3}\le k\le 3$ のとき

$$ \text{最大値}=2,\qquad \text{最小値}=2-\frac{2k^3}{9} $$

**(iii)**

$k\ge 3$ のとき

$$ \text{最大値}=2,\qquad \text{最小値}=5-k^2 $$