解説

方針・初手

3つの異なる整数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおき，3次方程式を

$$ x^3-13x+k=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

と因数分解して係数比較を行う。 $x^2$ の項が存在しないことから $\alpha+\beta+\gamma=0$ が得られ，これを用いると条件はかなり絞られる。

解法1

$\alpha,\beta,\gamma$ を方程式

$$ x^3-13x+k=0 $$

の3つの異なる整数解とする。

すると

$$ x^3-13x+k=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $$

であるから，展開して係数を比較すると

$$ \alpha+\beta+\gamma=0,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-13,\qquad \alpha\beta\gamma=-k $$

を得る。

ここで $\alpha+\beta+\gamma=0$ より

$$ \gamma=-(\alpha+\beta) $$

とおける。これを $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-13$ に代入すると，

$$ \alpha\beta+\beta(-\alpha-\beta)+(-\alpha-\beta)\alpha=-13 $$

すなわち

$$ -(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=-13 $$

より

$$ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=13 $$

となる。

左辺は非負であり，$13$ は小さいので，整数解を直接調べればよい。 $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=13$ を満たす整数の組は

$$ (\alpha,\beta)=(1,3),(3,1),(1,-4),(-4,1),(3,-4),(-4,3) $$

およびこれらの符号を同時に反転したものに限られる。 したがって，3つの整数解の組は

$$ (\alpha,\beta,\gamma)=(1,3,-4) $$

または

$$ (\alpha,\beta,\gamma)=(-1,-3,4) $$

である。

それぞれについて $k=-\alpha\beta\gamma$ を求めると，

**(i)**

${\alpha,\beta,\gamma}={1,3,-4}$ のとき

$$ \alpha\beta\gamma=1\cdot 3\cdot (-4)=-12 $$

より

$$ k=12 $$

である。

**(ii)**

${\alpha,\beta,\gamma}={-1,-3,4}$ のとき

$$ \alpha\beta\gamma=(-1)\cdot (-3)\cdot 4=12 $$

より

$$ k=-12 $$

である。

解説

この問題の要点は，整数解を個別に探すことではなく，まず3つの整数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とおいてVietaの公式を使うことである。

特に，$x^2$ の係数が $0$ であることから

$$ \alpha+\beta+\gamma=0 $$

が直ちに分かる。この条件により1文字消去でき，

$$ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=13 $$

という整数の2変数方程式に帰着する。ここまで来れば候補は非常に少なく，解の組を完全に決定できる。

答え

$$ k=12 \text{ のとき，整数解は } 1,,3,,-4 $$

$$ k=-12 \text{ のとき，整数解は } -1,,-3,,4 $$

したがって，求めるものは

$$ (k,\text{整数解})=(12;\ 1,3,-4),\quad (-12;\ -1,-3,4) $$

である。