基礎問題集

数学2 微分法「最大最小・解の個数」の問題11 解説

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数学2微分法最大最小・解の個数問題11

解説

$f(x)=x^3-3x^2$ の最小値を求めるには、$x\geqq 0$ における増減を調べればよい。

そのために、まず微分して導関数 $f'(x)$ の符号を調べる。

$$ f(x)=x^3-3x^2 $$

を微分すると、

$$ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) $$

である。

ここで、$x\geqq 0$ の範囲で $f'(x)$ の符号を調べる。

**(i)**

$0\leqq x<2$ のとき

このとき $x\geqq 0$, $x-2<0$ であるから、

$$ f'(x)=3x(x-2)\leqq 0 $$

となる。したがって、$f(x)$ は $0\leqq x<2$ で減少する。

**(ii)**

$x>2$ のとき

このとき $x>0$, $x-2>0$ であるから、

$$ f'(x)=3x(x-2)>0 $$

となる。したがって、$f(x)$ は $x>2$ で増加する。

よって、$x=2$ で最小値をとる。

実際に値を求めると、

$$ f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4 $$

したがって、$x\geqq 0$ における $f(x)$ の最小値は $-4$ である。

最小値・最大値の問題では、導関数の符号を調べて関数の増減を判断するのが基本である。

この問題では定義域が $x\geqq 0$ に制限されているので、その範囲だけで $f'(x)=3x(x-2)$ の符号を見れば十分である。$x=2$ を境に減少から増加へ変わるので、そこで最小値をとる。

最小値は

$$ -4 $$

である。