解説

方針・初手

左辺を

$$ f(x)=x^3-2x^2 $$

とおくと，もとの方程式は

$$ f(x)=k $$

と書ける。したがって，$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ が異なる3点で交わる条件を調べればよい。

そのために，まず $f(x)$ の極大値・極小値を求める。

解法1

$f(x)=x^3-2x^2$ とすると，

$$ f'(x)=3x^2-4x=x(3x-4) $$

であるから，$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=0,\ \frac{4}{3} $$

のときである。

ここで増減を調べると，

• $x<0$ では $f'(x)>0$
• $0<x<\frac{4}{3}$ では $f'(x)<0$
• $x>\frac{4}{3}$ では $f'(x)>0$

となる。よって，$x=0$ で極大，$x=\frac{4}{3}$ で極小となる。

それぞれの値は

$$ f(0)=0 $$

$$ f\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2 =\frac{64}{27}-\frac{32}{9} =\frac{64}{27}-\frac{96}{27} =-\frac{32}{27} $$

である。

したがって，$y=f(x)$ の極大値は $0$，極小値は $-\dfrac{32}{27}$ である。

三次関数 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ が異なる3点で交わるためには，$k$ が極小値と極大値の間にあることが必要十分である。よって，

$$ -\frac{32}{27}<k<0 $$

となる。

なお，$k=0$ または $k=-\dfrac{32}{27}$ のときは重解をもち，異なる3つの実数解にはならない。

解説

この問題は，$k$ を含む方程式をそのまま解こうとするのではなく，

$$ x^3-2x^2=k $$

と見て，三次関数と水平線の交点の個数に読み替えるのが基本方針である。

異なる3つの実数解をもつためには，グラフが極大値と極小値をもち，その2つの値の間に $k$ が入らなければならない。端の値を含めると接するだけになり，重解が生じるので不適である。

答え

$$ -\frac{32}{27}<k<0 $$