解説

方針・初手

方程式

$$ x^3+\frac{3}{2}x^2-k=0 $$

を

$$ x^3+\frac{3}{2}x^2=k $$

と見て、左辺の三次関数の極大値と極小値を調べる。三次関数が異なる $3$ つの実数解をもつのは、水平線 $y=k$ がグラフと $3$ 点で交わる場合であるから、極大値と極小値の間に $k$ があることが必要十分である。

解法1

$$ g(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2 $$

とおくと、求める条件は $g(x)=k$ が異なる $3$ つの実数解をもつ条件に言い換えられる。

まず微分すると、

$$ g'(x)=3x^2+3x=3x(x+1) $$

である。したがって、停留点は

$$ x=-1,\ 0 $$

である。

符号変化を見ると、

• $x<-1$ では $g'(x)>0$
• $-1<x<0$ では $g'(x)<0$
• $x>0$ では $g'(x)>0$

となるので、$x=-1$ で極大、$x=0$ で極小となる。

それぞれの値は

$$ g(-1)=(-1)^3+\frac{3}{2}(-1)^2=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} $$

$$ g(0)=0 $$

である。

よって、$y=g(x)$ の極大値は $\dfrac12$、極小値は $0$ である。したがって、水平線 $y=k$ がグラフと異なる $3$ 点で交わるための条件は

$$ 0<k<\frac12 $$

である。

なお、$k=0,\ \dfrac12$ のときは接する点が生じて重解をもつため、異なる $3$ つの実数解にはならない。

解説

三次方程式が異なる $3$ つの実数解をもつ条件は、対応する三次関数のグラフと水平線 $y=k$ の交点の個数で考えるのが基本である。

この問題では定数項だけが $-k$ となっているので、$k$ を動かすことは水平線 $y=k$ を上下に動かすことと同じである。したがって、極大値と極小値を求めれば、その間にあるときだけ交点が $3$ つになる。

答え

$$ 0<k<\frac12 $$