解説

方針・初手

与式

$$ x^2+y^2=2x $$

を変形すると、点 $(x,y)$ がある円周上を動く問題になる。 したがって、$x+y$ を座標の一次式とみて、その最大値・最小値を円の性質から調べるのが自然である。

解法1

まず与式を整理する。

$$ x^2-2x+y^2=0 $$

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

よって、点 $(x,y)$ は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円周上にある。

ここで

$$ x+y=1+{(x-1)+y} $$

と書ける。 そこで

$$ X=x-1,\quad Y=y $$

とおくと、条件は

$$ X^2+Y^2=1 $$

であり、求める量は

$$ x+y=1+(X+Y) $$

となる。

したがって、あとは $X^2+Y^2=1$ のもとで $X+Y$ の最大値・最小値を求めればよい。

相加相乗ではなく、ここでは二乗して評価すると

$$ (X+Y)^2 \leqq 2(X^2+Y^2)=2 $$

より

$$ -\sqrt{2}\leqq X+Y\leqq \sqrt{2} $$

である。

したがって

$$ 1-\sqrt{2}\leqq x+y\leqq 1+\sqrt{2} $$

となる。

よって、

• 最大値は $1+\sqrt{2}$
• 最小値は $1-\sqrt{2}$

である。

なお、等号成立は $X=Y$ または $X=-Y$ のうち条件に合うときであり、

（i） 最大値のとき

$$ X=Y=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

より

$$ x=1+\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

（ii） 最小値のとき

$$ X=Y=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

より

$$ x=1-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad y=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。

解法2

条件

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

は、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円を表す。

一方、$x+y=k$ は傾き $-1$ の直線の族である。 この直線を平行移動したとき、円に接するときに $x+y$ は最大または最小になる。

円の中心 $(1,0)$ から直線 $x+y=k$ までの距離は

$$ \frac{|1-k|}{\sqrt{2}} $$

である。

接する条件は、この距離が半径 $1$ に等しいことであるから、

$$ \frac{|1-k|}{\sqrt{2}}=1 $$

すなわち

$$ |1-k|=\sqrt{2} $$

となる。よって

$$ k=1\pm \sqrt{2} $$

である。

したがって、$x+y$ の最大値・最小値は

$$ 1+\sqrt{2},\quad 1-\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の本質は、条件式を平方完成して円の方程式に直すことである。

$$ x^2+y^2=2x \quad \Longleftrightarrow \quad (x-1)^2+y^2=1 $$

となるので、あとは円周上で一次式 $x+y$ の最大・最小を考える典型問題になる。

計算で進めるなら、$x+y=1+{(x-1)+y}$ と直して、円

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

の上で $(x-1)+y$ の範囲を評価すればよい。 図形的に見るなら、直線 $x+y=k$ が円に接するときが極値である。

答え

最大値は

$$ 1+\sqrt{2} $$

最小値は

$$ 1-\sqrt{2} $$

である。