解説

方針・初手

$8^x=(2^x)^3$ であるから、$t=2^x$ とおくと方程式は $t$ の3次方程式に直せる。

ただし、$t=2^x>0$ であることが重要である。したがって、$t$ について得られた3次方程式の実数解すべてを見るのではなく、正の解だけを数えればよい。

解法1

**(1)**

$t=2^x$ とおくと、$8^x=(2^x)^3=t^3$ であるから、

$$ f(x)=0 \iff 8^x-3\cdot 2^x+a=0 \iff t^3-3t+a=0 $$

となる。

ここで $t=2^x>0$ である。

**(2)**

$$ g(t)=t^3-3t+a $$

とおくと、$f(x)=0$ の解の個数は、$g(t)=0$ の正の解の個数に等しい。

まず増減を調べる。

$$ g'(t)=3t^2-3=3(t^2-1) $$

したがって、

• $0<t<1$ では $g'(t)<0$
• $t>1$ では $g'(t)>0$

である。よって、$t=1$ で最小値をとる。

その値は

$$ g(1)=1-3+a=a-2 $$

である。また、

$$ g(0)=a $$

であり、さらに $t\to\infty$ のとき $g(t)\to\infty$ である。

これより場合分けする。

**(i)**

$a>2$ のとき

$$ g(1)=a-2>0 $$

であり、$t>0$ における最小値が正であるから、正の解は存在しない。 したがって、$f(x)=0$ の解は $0$ 個である。

**(ii)**

$a=2$ のとき

$$ g(1)=0 $$

であり、最小値が $0$ になるから、正の解は $t=1$ のみである。 したがって、$2^x=1$ より $x=0$ で、解は $1$ 個である。

**(iii)**

$0<a<2$ のとき

$$ g(0)=a>0,\qquad g(1)=a-2<0 $$

であるから、$0<t<1$ に1個の正の解をもつ。

また、$t>1$ では $g(t)$ は増加し、$g(1)<0$ かつ $g(t)\to\infty$ であるから、$t>1$ にも1個の正の解をもつ。

したがって、正の解は合計 $2$ 個であり、$f(x)=0$ の解は $2$ 個である。

**(iv)**

$a=0$ のとき

$$ g(t)=t^3-3t=t(t^2-3) $$

より、$t=0,\pm\sqrt{3}$ である。

ただし $t=2^x>0$ なので $t=0$ は不適、$t=-\sqrt{3}$ も不適である。 したがって、正の解は $t=\sqrt{3}$ のみで、$f(x)=0$ の解は $1$ 個である。

**(v)**

$a<0$ のとき

$$ g(0)=a<0,\qquad g(1)=a-2<0 $$

であり、$t>1$ では $g(t)$ は増加して $\infty$ に向かうから、$t>1$ にただ1個の正の解をもつ。

したがって、$f(x)=0$ の解は $1$ 個である。

解説

この問題の要点は、$8^x$ を $(2^x)^3$ と見て $t=2^x$ と置くことである。すると指数方程式が3次方程式に変わり、あとはその正の解の個数を調べればよい。

ただし、$t=2^x$ には $t>0$ という条件がある。この条件を落とすと、たとえば $a=0$ のときに $t=0$ まで数えてしまい、解の個数を誤る。ここが最も注意すべき点である。

答え

**(1)**

$t=2^x$ とおくと、

$$ t^3-3t+a=0 \qquad (t>0) $$

となる。

**(2)**

$f(x)=0$ の解の個数は、$a$ の値によって次のように変わる。

$a>2$ のとき：$0$ 個

$a=2$ のとき：$1$ 個

$0<a<2$ のとき：$2$ 個

$a\leqq 0$ のとき：$1$ 個

すなわち、

$$ \begin{cases} 0 & (a>2) \\ 1 & (a\leqq 0,\ a=2) \\ 2 & (0<a<2) \end{cases} $$

である。