解説

方針・初手

まず

$$ y=x^3-2ax^2+a^2x=x(x-a)^2 $$

と因数分解する。すると極値の位置と値が求めやすくなる。

さらに、区間 $0\leqq x\leqq 1$ における最大値は、極大値と端点 $x=1$ の値を比較すれば決まる。その比較のために、極大値をとる点以外で同じ値をとる点も求める。

解法1

微分すると

$$ y'=3x^2-4ax+a^2=(x-a)(3x-a) $$

である。

したがって停留点は

$$ x=\frac{a}{3},\quad x=a $$

である。

符号変化を見ると、$x=\dfrac{a}{3}$ で増加から減少に変わるので極大、$x=a$ で減少から増加に変わるので極小である。よって

$$ y\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{a}{3}\left(\frac{a}{3}-a\right)^2 =\frac{a}{3}\left(-\frac{2a}{3}\right)^2 =\frac{4a^3}{27}, $$

$$ y(a)=a(a-a)^2=0 $$

より、

• $x=\dfrac{a}{3}$ のとき極大値 $\dfrac{4a^3}{27}$
• $x=a$ のとき極小値 $0$

をとる。

次に、$x=\dfrac{a}{3}$ 以外で $y=\dfrac{4a^3}{27}$ となる $x$ を求める。

$$ x(x-a)^2-\frac{4a^3}{27} =\left(x-\frac{a}{3}\right)^2\left(x-\frac{4a}{3}\right) $$

であるから、

$$ y=\frac{4a^3}{27} $$

となるのは $x=\dfrac{a}{3}$ のほかに

$$ x=\frac{4a}{3} $$

である。

ここで区間 $0\leqq x\leqq 1$ における最大値を $M(a)$ とする。

（i） $a\geqq 3$ のとき

このとき

$$ \frac{a}{3}\geqq 1 $$

であるから、区間 $0\leqq x\leqq 1$ には極大点 $x=\dfrac{a}{3}$ は入らない。実際、この区間では $x<a/3,\ x<a$ なので

$$ y'=(x-a)(3x-a)\geqq 0 $$

となり、$y$ は単調増加である。したがって最大値は $x=1$ でとり、

$$ M(a)=y(1)=1-2a+a^2=(1-a)^2 $$

である。

（ii） $3>a\geqq \dfrac{3}{4}$ のとき

このとき

$$ \frac{a}{3}<1\leqq \frac{4a}{3} $$

である。

したがって区間 $[0,1]$ では、$x=\dfrac{a}{3}$ で極大値 $\dfrac{4a^3}{27}$ をとった後、まだその値に戻る前に区間が終わる。よって最大値は

$$ M(a)=\frac{4a^3}{27} $$

である。

（iii） $0<a<\dfrac{3}{4}$ のとき

このとき

$$ \frac{4a}{3}<1 $$

である。

すなわち、$x=\dfrac{a}{3}$ で極大値 $\dfrac{4a^3}{27}$ をとったあと、$x=\dfrac{4a}{3}$ で再びその値に戻り、その後は増加して $x=1$ に至る。したがって最大値は $x=1$ でとり、

$$ M(a)=y(1)=(1-a)^2 $$

である。

以上より、

$$ M(a)= \begin{cases} (1-a)^2 & (a\geqq 3),\\ \dfrac{4a^3}{27} & \left(3>a\geqq \dfrac{3}{4}\right),\\ (1-a)^2 & \left(\dfrac{3}{4}>a>0\right) \end{cases} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$y=x(x-a)^2$ と因数分解して構造を見ることである。これにより、極小値が $0$ であることや、極大値と同じ値をもう一度とる点が存在することが見えやすくなる。

区間最大値を求めるときは、極値を出しただけでは不十分であり、その極大点や「同じ値を再びとる点」が区間 $[0,1]$ に入るかどうかを $a$ の範囲で場合分けする必要がある。境目が $a=3,\ \dfrac{3}{4}$ になるのは、それぞれ

$$ \frac{a}{3}=1,\quad \frac{4a}{3}=1 $$

から決まる。

答え

$$ \text{[ア]}=\frac{a}{3},\quad \text{[イ]}=\frac{4a^3}{27},\quad \text{[ウ]}=a,\quad \text{[エ]}=0,\quad \text{[オ]}=\frac{4a}{3} $$

$$ \text{[カ]}=3,\quad \text{[ク]}=\frac{3}{4} $$

$$ \text{[キ]}=(1-a)^2,\quad \text{[ケ]}=\frac{4a^3}{27},\quad \text{[コ]}=(1-a)^2 $$

したがって

$$ M(a)= \begin{cases} (1-a)^2 & (a\geqq 3),\\ \dfrac{4a^3}{27} & \left(3>a\geqq \dfrac{3}{4}\right),\\ (1-a)^2 & \left(\dfrac{3}{4}>a>0\right) \end{cases} $$