解説

方針・初手

半径 $1$ の円に内接する三角形なので，この円は $\triangle ABC$ の外接円である。したがって，正弦定理の拡張形

$$ a=2R\sin A $$

を用いるのが最も自然である。ここで外接円の半径は $R=1$ であるから，各辺は対応する角の正弦でただちに表せる。

また，$AB=AC$ より底角 $\angle ABC,\angle ACB$ は等しいので，まずそれを $\theta$ で表す。

解法1

$AB=AC$ より，

$$ \angle ABC=\angle ACB=\frac{\pi-\theta}{2} $$

である。

（1） $AB,\ BC$ を $\theta$ で表す

正弦定理の拡張形 $a=2R\sin A$ を用いる。ここで $R=1$ であるから，

• 辺 $BC$ は角 $\angle BAC=\theta$ の対辺であるので，

$$ BC=2\sin\theta $$

• 辺 $AB$ は角 $\angle ACB=\dfrac{\pi-\theta}{2}$ の対辺であるので，

$$ AB=2\sin\frac{\pi-\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2} $$

したがって，

$$ AB=2\cos\frac{\theta}{2},\qquad BC=2\sin\theta $$

である。

（2） $\cos\theta=t$ のとき，面積を $t$ で表す

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると，

$$ S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\theta $$

である。ここで $AB=AC=2\cos\dfrac{\theta}{2}$ であるから，

$$ \begin{aligned} S &=\frac12\cdot \left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)^2\sin\theta \\ &=2\cos^2\frac{\theta}{2}\sin\theta \end{aligned} $$

半角公式

$$ \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2} $$

を用いると，

$$ S=(1+\cos\theta)\sin\theta $$

となる。ここで $\cos\theta=t$ とおくと，$0<\theta<\pi$ なので $\sin\theta>0$ より

$$ \sin\theta=\sqrt{1-t^2} $$

である。よって，

$$ S=(1+t)\sqrt{1-t^2} $$

となる。

（3） 面積を最大にする $\theta$ とその最大値

（2） より，面積 $S$ は

$$ S=(1+t)\sqrt{1-t^2}\qquad (-1<t<1) $$

である。

$S>0$ であるから，$S$ を最大にする代わりに $S^2$ を最大にしてよい。そこで

$$ S^2=(1+t)^2(1-t^2)=(1+t)^3(1-t) $$

とおく。これを $f(t)$ とすると，

$$ f(t)=(1+t)^3(1-t) $$

であり，

$$ \begin{aligned} f'(t) &=3(1+t)^2(1-t)-(1+t)^3 \\ &=(1+t)^2{3(1-t)-(1+t)} \\ &=2(1+t)^2(1-2t) \end{aligned} $$

したがって，

$$ f'(t)=0 \iff t=\frac12 $$

である。

また，$-1<t<1$ において $(1+t)^2>0$ だから，$f'(t)$ の符号は $1-2t$ の符号で決まり，

• $t<\dfrac12$ で $f'(t)>0$
• $t>\dfrac12$ で $f'(t)<0$

となる。よって $t=\dfrac12$ のとき最大である。

すなわち，

$$ \cos\theta=\frac12 $$

より，

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

である。

このとき面積は

$$ S=\left(1+\frac12\right)\sqrt{1-\frac14} =\frac32\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{4} $$

となる。

解説

この問題の要点は，「半径 $1$ の円に内接する」という条件を見たら，その円を外接円とみなし，正弦定理の拡張形 $a=2R\sin A$ をすぐ使うことである。これにより辺の長さが角で直接表せる。

また，面積最大の問題では，平方根を含む式をそのまま微分するより，面積の二乗を考えると計算が整理しやすい。$\theta$ で直接微分してもよいが，（2） で得た $t=\cos\theta$ による式を活用するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ AB=2\cos\frac{\theta}{2},\qquad BC=2\sin\theta $$

**(2)**

面積 $S$ は

$$ S=(1+t)\sqrt{1-t^2} $$

**(3)**

面積が最大となるのは

$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$

その最大値は

$$ \frac{3\sqrt3}{4} $$