解説

方針・初手

三角関数の式をそのまま $\theta$ で追うよりも、$x=\cos\theta$ とおいて多項式に直すのが最も整理しやすい。

$\cos 3\theta,\ \cos 2\theta$ を $\cos\theta$ で表すと、左辺は $\cos\theta$ の3次式になる。あとは $-1\le x\le 1$ の範囲でそのグラフを調べ、最後に $x=\cos\theta$ を満たす $\theta$ の個数に戻せばよい。

解法1

$x=\cos\theta$ とおく。ただし $-1\le x\le 1$ である。

与式の左辺は

$$ \cos 3\theta-\cos 2\theta+3\cos\theta-1 $$

であるから、

$$ \cos 3\theta=4x^3-3x,\qquad \cos 2\theta=2x^2-1 $$

を用いると

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta-\cos 2\theta+3\cos\theta-1 &=(4x^3-3x)-(2x^2-1)+3x-1 \\ &=4x^3-2x^2 \\ &=2x^2(2x-1) \end{aligned} $$

となる。したがって、求める方程式は

$$ 4x^3-2x^2=\alpha \qquad (-1\le x\le 1) $$

である。

ここで

$$ g(x)=4x^3-2x^2 $$

とおくと、

$$ g'(x)=12x^2-4x=4x(3x-1) $$

より、極値をとるのは $x=0,\ \dfrac13$ のときである。

さらに、

$$ g(-1)=-6,\qquad g(0)=0,\qquad g\left(\frac13\right)=-\frac{2}{27},\qquad g(1)=2 $$

であるから、$-1\le x\le 1$ における $g(x)$ の増減は次のようになる。

• $[-1,0]$ で増加
• $[0,\frac13]$ で減少
• $[\frac13,1]$ で増加

したがって、水平線 $y=\alpha$ と $y=g(x)$ の交点の個数は次のように分類できる。

**(i)**

$\alpha<-6$ または $\alpha>2$ のとき 交点はない。

**(ii)**

$\alpha=-6$ のとき $x=-1$ のみ。

**(iii)**

$-6<\alpha<-\dfrac{2}{27}$ のとき $x$ はただ1個。

**(iv)**

$\alpha=-\dfrac{2}{27}$ のとき $x=\dfrac13$ で極小値をとるので、そこで1つ接する。さらに $[-1,0]$ にも1つある。実際、

$$ 4x^3-2x^2=-\frac{2}{27} $$

は

$$ \frac{2}{27}(3x-1)^2(6x+1)=0 $$

となるので、

$$ x=\frac13,\ -\frac16 $$

の2個である。

**(v)**

$-\dfrac{2}{27}<\alpha<0$ のとき $[-1,0],\ [0,\frac13],\ [\frac13,1]$ の各区間に1個ずつ、合計3個。

**(vi)**

$\alpha=0$ のとき

$$ 4x^3-2x^2=2x^2(2x-1)=0 $$

より

$$ x=0,\ \frac12 $$

の2個。

**(vii)**

$0<\alpha<2$ のとき $[\frac13,1]$ に1個だけ。

**(viii)**

$\alpha=2$ のとき $x=1$ のみ。

次に、$x=\cos\theta$ を満たす $\theta$ の個数を考える。

$0\le \theta<2\pi$ において、

• $-1<x<1$ のとき、$\cos\theta=x$ を満たす $\theta$ は2個
• $x=1$ のとき、$\theta=0$ の1個
• $x=-1$ のとき、$\theta=\pi$ の1個

である。

以上より、求める $\theta$ の個数は次の通りである。

• $\alpha<-6$ または $\alpha>2$ のとき：$0$個
• $\alpha=-6$ のとき：$1$個
• $-6<\alpha<-\dfrac{2}{27}$ のとき：$2$個
• $\alpha=-\dfrac{2}{27}$ のとき：$4$個
• $-\dfrac{2}{27}<\alpha<0$ のとき：$6$個
• $\alpha=0$ のとき：$4$個
• $0<\alpha<2$ のとき：$2$個
• $\alpha=2$ のとき：$1$個

解説

この問題の本質は、三角関数の方程式を $\cos\theta$ の方程式に落とし込むことである。

左辺が

$$ 4\cos^3\theta-2\cos^2\theta $$

ときれいな3次式にまとまるので、あとは $x=\cos\theta$ の範囲 $-1\le x\le 1$ でのグラフの形だけを見ればよい。

注意すべき点は、$x$ の解の個数と $\theta$ の解の個数が一致しないことである。$x\in(-1,1)$ なら通常 $\theta$ は2個あるが、$x=\pm1$ のときだけ1個になる。この端点処理を落とすと誤答になる。

答え

$\cos 3\theta-\cos 2\theta+3\cos\theta-1=\alpha$ を満たす $\theta$ の個数は、

$$ \begin{cases} 0 & (\alpha<-6,\ 2<\alpha),\\ 1 & (\alpha=-6,\ 2),\\ 2 & \left(-6<\alpha<-\dfrac{2}{27},\ 0<\alpha<2\right),\\ 4 & \left(\alpha=-\dfrac{2}{27},\ 0\right),\\ 6 & \left(-\dfrac{2}{27}<\alpha<0\right). \end{cases} $$

である。