解説

方針・初手

$a+b=1$ が与えられているので、

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $$

を用いて $a^3+b^3$ を $ab$ で表すのが自然である。すると条件式から $c^3=3ab$ が得られ、$a+b=1$ のもとでの $ab$ の範囲を使って （1） が処理できる。

さらに $a^2+b^2+c^2$ も $ab$ または $c$ で表せるので、（2） も1変数の最大値問題に帰着できる。

解法1

条件 $a+b=1$ より、

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3ab $$

である。これを

$$ a^3+b^3+c^3=1 $$

に代入すると、

$$ (1-3ab)+c^3=1 $$

より

$$ c^3=3ab $$

を得る。

（1） $c$ のとりうる値の範囲

$a,b$ は正の実数で $a+b=1$ だから、

$$ ab>0 $$

であり、また相加相乗平均または平方完成より

$$ ab\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac14 $$

である。したがって

$$ 0<ab\le \frac14 $$

となるので、

$$ 0<c^3=3ab\le \frac34 $$

である。よって

$$ 0<c\le \sqrt[3]{\frac34} $$

となる。

この範囲のすべての値が実際にとれることも確認しておく。任意の $x,(0<x\le 1/4)$ に対し、$a,b$ を

$$ t^2-t+x=0 $$

の2解とすれば、判別式 $1-4x\ge 0$ より実数解をもち、しかも解の和が $1$、積が $x>0$ なので $a,b$ はともに正である。したがって $ab=x$ はこの範囲のすべての値をとり、よって

$$ 0<c\le \sqrt[3]{\frac34} $$

が $c$ のとりうる範囲である。

（2） $a^2+b^2+c^2$ の最大値

まず

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab $$

だから、

$$ a^2+b^2+c^2=1-2ab+c^2 $$

となる。ここで $c^3=3ab$ より

$$ ab=\frac{c^3}{3} $$

であるから、

$$ a^2+b^2+c^2 =1-\frac{2}{3}c^3+c^2 =:f(c) $$

とおける。

（1） より $0<c\le \sqrt[3]{3/4}$ である。この区間で

$$ f'(c)=2c-2c^2=2c(1-c) $$

である。しかも

$$ \sqrt[3]{\frac34}<1 $$

なので、区間 $0<c\le \sqrt[3]{3/4}$ では常に $c>0,\ 1-c>0$ であり、

$$ f'(c)>0 $$

となる。よって $f(c)$ はこの区間で単調増加であるから、最大値は $c$ が最大のとき、すなわち

$$ c=\sqrt[3]{\frac34} $$

のときにとる。

このとき

$$ c^3=\frac34 $$

より

$$ ab=\frac14 $$

となるので、$a+b=1$ と合わせて

$$ a=b=\frac12 $$

である。したがって

$$ a^2+b^2+c^2 =\frac14+\frac14+\left(\sqrt[3]{\frac34}\right)^2 =\frac12+\left(\frac34\right)^{\frac23} $$

である。

よって最大値は

$$ \frac12+\left(\frac34\right)^{\frac23} $$

である。

解説

この問題の核心は、条件式 $a^3+b^3+c^3=1$ をそのまま扱うのではなく、$a+b=1$ を使って

$$ a^3+b^3=1-3ab $$

と変形し、$c^3=3ab$ を導く点にある。これで3変数の条件が実質的に $ab$ または $c$ の1変数条件になる。

また、$a+b$ が一定のとき $ab$ の最大値が $1/4$ になることは典型事項であり、ここから $c$ の範囲がすぐ出る。さらに $a^2+b^2+c^2$ も $c$ の関数に直せば、あとは単調性を見るだけでよい。

答え

**(1)**

$$ 0<c\le \sqrt[3]{\frac34} $$

**(2)**

最大値は

$$ \frac12+\left(\frac34\right)^{\frac23} $$

であり、そのとき

$$ a=b=\frac12,\quad c=\sqrt[3]{\frac34} $$

である。