解説

方針・初手

（1） は $a=\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}$ を有理化して具体的な形に直せばよい。

（2） は $f(x)=4x^3-6x^2-x+1$ とおき、（1） で得た $c,a$ を代入して符号を調べる。多項式は連続であるから、中間値の定理を用いればよい。

解法1

まず、

$$ a=\frac{1}{3-\sqrt{5}} =\frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} =\frac{3+\sqrt{5}}{9-5} =\frac{3+\sqrt{5}}{4} $$

である。

ここで $2<\sqrt{5}<3$ より、

$$ 5<3+\sqrt{5}<6 $$

したがって、

$$ \frac{5}{4}<a<\frac{6}{4} $$

となるので、

$$ 1<a<2 $$

である。よって整数部分は

$$ b=1 $$

である。

したがって小数部分 $c$ は

$$ c=a-b=\frac{3+\sqrt{5}}{4}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

となる。

次に （2） を示す。

$$ f(x)=4x^3-6x^2-x+1 $$

とおく。

まず $c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ について調べる。

$$ 4c=\sqrt{5}-1 $$

より、

$$ 4c+1=\sqrt{5} $$

両辺を2乗すると、

$$ (4c+1)^2=5 $$

すなわち

$$ 16c^2+8c+1=5 $$

であるから、

$$ 4c^2+2c-1=0 $$

を得る。これより

$$ 4c^2=1-2c $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} f(c) &=4c^3-6c^2-c+1 \\ &=c(4c^2)-6c^2-c+1 \\ &=c(1-2c)-6c^2-c+1 \\ &=1-8c^2 \end{aligned} $$

さらに $4c^2=1-2c$ を用いると、

$$ 8c^2=2-4c $$

だから、

$$ f(c)=1-(2-4c)=4c-1=\sqrt{5}-2>0 $$

となる。

次に $a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}$ について調べる。

$$ 4a=3+\sqrt{5} $$

より、

$$ 4a-3=\sqrt{5} $$

両辺を2乗すると、

$$ (4a-3)^2=5 $$

すなわち

$$ 16a^2-24a+9=5 $$

であるから、

$$ 4a^2-6a+1=0 $$

を得る。これより

$$ 4a^2=6a-1 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} f(a) &=4a^3-6a^2-a+1 \\ &=a(4a^2)-6a^2-a+1 \\ &=a(6a-1)-6a^2-a+1 \\ &=1-2a \\ &=1-\frac{3+\sqrt{5}}{2} =-\frac{1+\sqrt{5}}{2}<0 \end{aligned} $$

ここで （1） より $c<a$ であり、$f(x)$ は多項式だから連続である。

しかるに

$$ f(c)>0,\qquad f(a)<0 $$

であるから、中間値の定理により

$$ c<x<a $$

を満たす実数 $x$ で

$$ f(x)=0 $$

となるものが存在する。

したがって、方程式

$$ 4x^3-6x^2-x+1=0 $$

は $c<x<a$ の範囲に解をもつ。

解説

この問題の要点は、（1） で得た $a,c$ を単なる近似値として使うのではなく、それぞれが満たす2次方程式

$$ 4a^2-6a+1=0,\qquad 4c^2+2c-1=0 $$

を取り出すことである。これにより $f(a),f(c)$ の計算が大きく簡単になり、符号判定が正確にできる。

（2） では解を直接求める必要はなく、両端で符号が変わることを示して中間値の定理を使うのが基本方針である。

答え

**(1)**

$$ a=\frac{3+\sqrt{5}}{4} $$

より、

$$ b=1,\qquad c=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

である。

**(2)**

$$ f(x)=4x^3-6x^2-x+1 $$

とおくと、

$$ f(c)=\sqrt{5}-2>0,\qquad f(a)=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}<0 $$

である。$f(x)$ は連続だから、中間値の定理より

$$ c<x<a $$

を満たす範囲に $f(x)=0$ の解が存在する。すなわち、方程式

$$ 4x^3-6x^2-x+1=0 $$

は $c<x<a$ の範囲に解をもつ。