解説

方針・初手

まず $f(x)=x^3-3x+1$ の増減を調べて、$f(x)=0$ の実数解の個数と位置を確定する。

つぎに、$g(x)=x^2-2$ を用いた合成 $f(g(x))$ を計算すると、解が $g$ によって再び解へ移ることが分かる。

最後に、各解がどの区間にあるかを使って、$g$ が解をどの順に移すかを決める。

解法1

まず

$$ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) $$

であるから、$f$ は

• $(-\infty,-1)$ で増加
• $(-1,1)$ で減少
• $(1,\infty)$ で増加

する。

また、

$$ f(-2)=-1,\quad f(-1)=3,\quad f(0)=1,\quad f(1)=-1,\quad f(2)=3 $$

である。

したがって中間値の定理より、

• $(-2,-1)$ に少なくとも1個
• $(0,1)$ に少なくとも1個
• $(1,2)$ に少なくとも1個

の実数解をもつ。

しかも、上で見た増減より、各区間に解は高々1個しかない。よって $f(x)=0$ は 3 個の相異なる実数解をもち、それらはすべて $(-2,2)$ にある。

これで （1） が示された。

つぎに、$f(g(x))$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(g(x)) &=f(x^2-2) \\ &=(x^2-2)^3-3(x^2-2)+1 \\ &=x^6-6x^4+9x^2-1 \\ &=(x^3-3x+1)(x^3-3x-1). \end{aligned} $$

したがって、$\alpha$ が $f(x)=0$ の解ならば $f(\alpha)=0$ なので、

$$ f(g(\alpha))=(\alpha^3-3\alpha+1)(\alpha^3-3\alpha-1)=0 $$

となる。ゆえに $g(\alpha)$ も $f(x)=0$ の解である。

これで （2） が示された。

さて、$f(x)=0$ の 3 解を小さい順に $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ とすると、（1） より

$$ -2<\alpha_1<-1<0<\alpha_2<1<\alpha_3<2 $$

である。

まず $\alpha_2\in(0,1)$ であるから、

$$ -2<\alpha_2^2-2<-1 $$

となる。すなわち

$$ g(\alpha_2)\in(-2,-1) $$

である。この区間にある解は $\alpha_1$ しかないから、

$$ g(\alpha_2)=\alpha_1 $$

である。

つぎに、解が $g$ によって不動になることはないことを示す。もし $g(\alpha)=\alpha$ ならば

$$ \alpha^2-2=\alpha $$

より

$$ \alpha^2-\alpha-2=0 $$

すなわち

$$ (\alpha-2)(\alpha+1)=0 $$

であるから、$\alpha=2$ または $\alpha=-1$ である。しかし

$$ f(2)=3,\quad f(-1)=3 $$

であり、どちらも $f(x)=0$ の解ではない。したがって、解は $g$ で自分自身へは移らない。

さらに、もし $g(\alpha_i)=g(\alpha_j)$ ならば

$$ \alpha_i^2-2=\alpha_j^2-2 $$

より $\alpha_i^2=\alpha_j^2$、したがって $\alpha_i=\pm\alpha_j$ である。

$\alpha_i=\alpha_j$ は明らかに除かれる。$\alpha_i=-\alpha_j$ も起こらない。実際、もし 2 つの解が互いに反対数なら、3解の和は $0$ であるから残りの 1 つは $0$ となるが、$f(0)=1$ で矛盾する。

よって、$g$ は解集合 ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$ 上で単射である。有限集合上の単射は全単射だから、$g$ はこの 3 解をちょうど並べ替える。

すでに $g(\alpha_2)=\alpha_1$ が分かっており、しかも不動点はないので、残りは

$$ g(\alpha_1)=\alpha_3,\qquad g(\alpha_3)=\alpha_2 $$

である。

以上より

$$ g(\alpha_1)=\alpha_3,\qquad g(\alpha_2)=\alpha_1,\qquad g(\alpha_3)=\alpha_2 $$

となる。これで （3） が示された。

解説

この問題の要点は 2 つである。

1つ目は、3次関数の増減を用いて解の個数と位置を正確に押さえることである。極大値 $f(-1)=3$、極小値 $f(1)=-1$ が符号をまたいでいるため、3つの実数解が生じる。

2つ目は、$g(x)=x^2-2$ を単なる補助関数として見るのではなく、合成 $f(g(x))$ を計算して、解どうしの対応を調べることである。 $f(g(x))$ が $f(x)$ を因数にもつため、$f(x)=0$ の解は $g$ によって再び解へ移る。この構造を使うと、解の並び替えまで決定できる。

答え

**(1)**

$f(x)=0$ は 3 つの相異なる実数解をもち、それらは

$$ -2<\alpha_1<-1<0<\alpha_2<1<\alpha_3<2 $$

を満たす。したがって、いずれも絶対値は $2$ より小さい。

**(2)**

$\alpha$ が $f(x)=0$ の解ならば、$g(\alpha)$ も $f(x)=0$ の解である。

**(3)**

解を小さい順に $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ とすると、

$$ g(\alpha_1)=\alpha_3,\qquad g(\alpha_2)=\alpha_1,\qquad g(\alpha_3)=\alpha_2 $$

である。