解説

方針・初手

$\sin x=t$ とおくと、$-1\le t\le 1$ のもとで方程式は $t$ についての方程式に直せる。

さらに $a$ を $t$ の式で表すと、$a$ と $t$ の対応が単調性で調べられるので、まず $t$ の個数を求め、最後に $\sin x=t$ の解の個数へ戻せばよい。

解法1

$\sin x=t$ とおくと、$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t^2$ より

$$ 1-t^2+2at-a-1=0 $$

すなわち

$$ t^2-2at+a=0 $$

を得る。

ここで $t=\dfrac12$ を代入すると

$$ \left(\frac12\right)^2-2a\cdot \frac12+a=\frac14\ne 0 $$

となるので、$t=\dfrac12$ は解にならない。したがって上式を $a$ について解いて

$$ a=\frac{t^2}{2t-1} $$

と書ける。

よって、$-1\le t\le 1$ において

$$ f(t)=\frac{t^2}{2t-1} $$

の値が $a$ に等しくなる $t$ の個数を調べればよい。

$f'(t)$ を求めると

$$ f'(t)=\frac{2t(2t-1)-2t^2}{(2t-1)^2} =\frac{2t(t-1)}{(2t-1)^2} $$

である。

分母は常に正なので、符号は $2t(t-1)$ で決まる。したがって、

**(i)**

$-1\le t\le 0$ では $f'(t)\ge 0$ だから増加、

**(ii)**

$0<t<\dfrac12$ では $f'(t)<0$ だから減少、

**(iii)**

$\dfrac12<t\le 1$ でも $f'(t)<0$ だから減少

である。

各区間での値の範囲を調べると

$$ f(-1)=\frac{1}{-3}=-\frac13,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=1 $$

また

$$ \lim_{t\to (1/2)^-}f(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to (1/2)^+}f(t)=+\infty $$

より、

**(i)**

$-1\le t\le 0$ では $-\dfrac13\le f(t)\le 0$

**(ii)**

$0<t<\dfrac12$ では $-\infty<f(t)<0$

**(iii)**

$\dfrac12<t\le 1$ では $1\le f(t)<\infty$

となる。

以上より、$f(t)=a$ を満たす $t$ の個数は次のようになる。

**(1)**

$a<-\dfrac13$ のとき $0<t<\dfrac12$ にただ1個

**(2)**

$a=-\dfrac13$ のとき $t=-1,\ \dfrac13$ の2個

**(3)**

$-\dfrac13<a<0$ のとき $-1<t<0$ に1個、$0<t<\dfrac12$ に1個、合計2個

**(4)**

$a=0$ のとき $t=0$ の1個

**(5)**

$0<a<1$ のとき 解なし

**(6)**

$a=1$ のとき $t=1$ の1個

**(7)**

$a>1$ のとき $\dfrac12<t<1$ にただ1個

次に、$\sin x=t$ の $0\le x<2\pi$ における解の個数を考える。

• $-1<t<1$ なら通常2個
• $t=1$ なら $x=\dfrac{\pi}{2}$ の1個
• $t=-1$ なら $x=\dfrac{3\pi}{2}$ の1個
• $t=0$ なら $x=0,\pi$ の2個

したがって元の方程式の異なる実数解の個数は

• $a<-\dfrac13$ のとき：$2$ 個
• $a=-\dfrac13$ のとき：$1+2=3$ 個
• $-\dfrac13<a<0$ のとき：$2+2=4$ 個
• $a=0$ のとき：$2$ 個
• $0<a<1$ のとき：$0$ 個
• $a=1$ のとき：$1$ 個
• $a>1$ のとき：$2$ 個

解説

この問題では、$\sin x=t$ とおいて三角方程式を $t$ の方程式に直すのが基本である。

ただし、$t^2-2at+a=0$ をそのまま $t$ について解くだけでは、$t$ が $-1\le t\le 1$ を満たすかどうかの吟味が煩雑になりやすい。そこで $a=\dfrac{t^2}{2t-1}$ と見て、$t$ の範囲内での値域を調べると、$a$ ごとの $t$ の個数が明確になる。

その後は、$\sin x=t$ の解の個数が $t=\pm 1$ のときだけ1個になり、それ以外の $-1<t<1$ では2個になることを使えばよい。

答え

異なる実数解の個数は

$$ \begin{cases} 2 & \left(a<-\dfrac13\right),\\[4pt] 3 & \left(a=-\dfrac13\right),\\[4pt] 4 & \left(-\dfrac13<a<0\right),\\[4pt] 2 & \left(a=0\right),\\[4pt] 0 & \left(0<a<1\right),\\[4pt] 1 & \left(a=1\right),\\[4pt] 2 & \left(a>1\right) \end{cases} $$

である。