解説

方針・初手

まず

$$ t=\cos\theta-\sin\theta $$

を整理し、その取りうる範囲を調べる。つぎに、$t^2$ を用いて $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せば、$f(\theta)$ も $t$ の式に直せる。

最後は $f(\theta)$ を $t$ の三次関数とみなし、その増減と、各 $t$ に対して対応する $\theta$ の個数を合わせて数えればよい。

解法1

（1） $t$ のとりうる値の範囲

$$ t=\cos\theta-\sin\theta =\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで $0\leqq \theta\leqq \pi$ だから、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

となる。したがって $\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ の値域は $[-1,\frac{1}{\sqrt{2}}]$ であるから、

$$ -\sqrt{2}\leqq t\leqq 1 $$

を得る。

（2） $f(\theta)$ を $t$ の式で表す

$$ f(\theta)=2(\cos^3\theta-\sin^3\theta) $$

であるから、因数分解すると

$$ f(\theta) =2(\cos\theta-\sin\theta)(\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta) $$

となる。ここで $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より、

$$ f(\theta)=2t(1+\sin\theta\cos\theta) $$

である。

一方、

$$ t^2=(\cos\theta-\sin\theta)^2 =\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta =1-2\sin\theta\cos\theta $$

より、

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{1-t^2}{2} $$

となる。これを代入すると、

$$ f(\theta)=2t\left(1+\frac{1-t^2}{2}\right) =t(3-t^2) $$

よって、

$$ f(\theta)=-t^3+3t $$

である。

（3） $f(\theta)=k$ を満たす $\theta$ の個数

**まず $t$ と $\theta$ の対応を確認する。**

$$ t=\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

より、$\theta$ が $0$ から $\frac{3\pi}{4}$ まで増えると $t$ は $1$ から $-\sqrt{2}$ まで減少し、$\frac{3\pi}{4}$ から $\pi$ まで増えると $t$ は $-\sqrt{2}$ から $-1$ まで増加する。

したがって、各 $t$ に対する $\theta$ の個数は次のようになる。

• $t=-\sqrt{2}$ のとき、$\theta$ は $1$ 個
• $-\sqrt{2}<t\leqq -1$ のとき、$\theta$ は $2$ 個
• $-1<t\leqq 1$ のとき、$\theta$ は $1$ 個

つぎに

$$ y=f(\theta)=-t^3+3t $$

を $t\in[-\sqrt{2},1]$ で調べる。

微分すると

$$ \frac{dy}{dt}=-3t^2+3=3(1-t^2) $$

であるから、

• $-\sqrt{2}\leqq t\leqq -1$ では減少
• $-1\leqq t\leqq 1$ では増加

する。

端の値は

$$ f(-\sqrt{2})=-(-\sqrt{2})^3+3(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}, $$

$$ f(-1)=-(-1)^3+3(-1)=-2, $$

$$ f(1)=-(1)^3+3(1)=2 $$

である。

よって、

• $t\in[-\sqrt{2},-1]$ では $f(\theta)$ は $-\sqrt{2}$ から $-2$ まで減少
• $t\in[-1,1]$ では $f(\theta)$ は $-2$ から $2$ まで増加

する。

したがって $f(\theta)=k$ の解の個数は次のようになる。

**(i)**

$k<-2$ または $k>2$ のとき

このとき値域に入らないので、$\theta$ は $0$ 個である。

**(ii)**

$k=-2$ のとき

$t=-1$ のみであり、これに対応する $\theta$ は $2$ 個である。

**(iii)**

$-2<k<-\sqrt{2}$ のとき

$t\in(-\sqrt{2},-1)$ に $1$ 個、$t\in(-1,1)$ に $1$ 個、合計 $2$ 個の $t$ がある。

このうち前者には $\theta$ が $2$ 個、後者には $\theta$ が $1$ 個対応するから、合計 $3$ 個である。

**(iv)**

$k=-\sqrt{2}$ のとき

$t=-\sqrt{2}$ と、$-1<t<1$ にあるもう $1$ つの値に対応する。

前者から $\theta$ は $1$ 個、後者から $\theta$ は $1$ 個で、合計 $2$ 個である。

**(v)**

$-\sqrt{2}<k\leqq 2$ のとき

$t\in(-1,1]$ にただ $1$ 個対応し、そのとき $\theta$ も $1$ 個である。

解説

この問題の要点は、$\cos\theta-\sin\theta$ を新しい文字 $t$ とおいたあと、$\sin\theta\cos\theta$ を $t^2$ で表すことである。すると三角関数の問題が三次関数

$$ y=-t^3+3t $$

の問題に変わる。

ただし、ここで終わりではない。$t$ の値が決まったときに $\theta$ が何個あるかは、$0\leqq \theta\leqq \pi$ という範囲のため一様ではない。特に $-\sqrt{2}<t\leqq -1$ では $\theta$ が $2$ 個あるので、最後はこの対応関係まで確認する必要がある。

答え

$$ \text{（1） }\ -\sqrt{2}\leqq t\leqq 1 $$

$$ \text{（2） }\ f(\theta)=t(3-t^2)=-t^3+3t $$

$$ \text{（3） } \begin{cases} 0個 & (k<-2\ \text{または}\ k>2)\\ 2個 & (k=-2)\\ 3個 & (-2<k<-\sqrt{2})\\ 2個 & (k=-\sqrt{2})\\ 1個 & (-\sqrt{2}<k\leqq 2) \end{cases} $$