解説

方針・初手

回転軸に垂直な平面で切った断面を考える。回転軸は長さ $b$ の辺であるから、どの高さで切っても同じ平面図形が現れる。したがって、求める立体 $V$ の体積は

$$ (\text{その断面の面積})\times b $$

で求められる。

よって、問題は「1つの長方形を、その頂点を中心として $90^\circ$ 回転させたときに平面内で掃く図形の面積」を求めることに帰着する。

解法1

回転軸に垂直な平面をとり、その中で回転軸との交点を $O$ とする。初めの長方形の頂点を

$$ O=(0,0),\quad A=(a,0),\quad B=(a,c),\quad C=(0,c) $$

とおく。

この長方形を点 $O$ を中心として $90^\circ$ 回転させるとき、長方形が通過する部分全体を平面図形 $F$ とする。

このとき、$F$ の境界は次の4つからなる。

• 点 $(a,0)$ から $(a,c)$ までの線分
• 点 $(-c,0)$ から $(-c,a)$ までの線分
• 点 $(a,c)$ から $(-c,a)$ までの、中心 $O$、半径 $\sqrt{a^2+c^2}$、中心角 $\dfrac{\pi}{2}$ の弧
• 点 $(-c,0)$ から $(a,0)$ までの線分

したがって $F$ は、半径 $\sqrt{a^2+c^2}$、中心角 $\dfrac{\pi}{2}$ の扇形と、面積がそれぞれ $\dfrac{ac}{2}$ の直角三角形2個からできている。

よって、

$$ \text{面積}(F) =\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)+\frac{ac}{2}+\frac{ac}{2} =\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)+ac $$

である。

したがって、立体 $V$ の体積は

$$ V=b\left(\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)+ac\right) $$

となる。

次に （2） を考える。条件 $a+b+c=1$ より、

$$ b=1-(a+c) $$

である。ここで

$$ s=a+c,\qquad \lambda=\frac{\pi}{4} $$

とおくと、

$$ V=(1-s)\left(ac+\lambda(a^2+c^2)\right) $$

である。また

$$ a^2+c^2=s^2-2ac $$

より、

$$ ac+\lambda(a^2+c^2) =\lambda s^2+(1-2\lambda)ac $$

となる。ここで

$$ 1-2\lambda=1-\frac{\pi}{2}<0 $$

であるから、$ac>0$ に注意すると

$$ ac+\lambda(a^2+c^2)<\lambda s^2 $$

したがって

$$ V<\lambda(1-s)s^2=\frac{\pi}{4}(1-s)s^2 $$

を得る。

よって、$0<s<1$ における $(1-s)s^2$ の最大値を求めればよい。微分すると

$$ \frac{d}{ds}\bigl((1-s)s^2\bigr)=2s-3s^2=s(2-3s) $$

であるから、最大値は $s=\dfrac{2}{3}$ のときにとり、

$$ (1-s)s^2\le \frac{4}{27} $$

となる。したがって

$$ V<\frac{\pi}{4}\cdot\frac{4}{27}=\frac{\pi}{27} $$

である。

一方、$V>0$ は自明である。

さらに、$b\to 0^+$ とすれば $V\to 0^+$ となり、また $a\to 0^+$、$c\to \dfrac{2}{3}$、$b\to \dfrac{1}{3}$ とすれば

$$ V\to \frac{\pi}{27} $$

となる。したがって、$V$ のとりうる値は

$$ 0<V<\frac{\pi}{27} $$

である。

解説

この問題の本質は、3次元の回転体の体積を、その回転軸に垂直な2次元断面の面積に落とすことである。

断面で見ると、長方形を頂点まわりに $90^\circ$ 回転させたときの掃過図形は、扇形と2つの直角三角形に分解できる。そのため （1） は図形的に処理できる。

（2） では、$a+c$ をまとめて1変数にするのが有効である。係数

$$ 1-\frac{\pi}{2}<0 $$

に注目して $ac$ を消す方向に評価すると、最大値の議論が1変数関数 $(1-s)s^2$ の最大化に帰着する。

答え

**(1)**

$$ V=b\left(ac+\frac{\pi}{4}(a^2+c^2)\right) $$

**(2)**

$$ 0<V<\frac{\pi}{27} $$