解説

方針・初手

$4^x=(2^x)^2$ とみなせるので，$t=2^x$ とおくと $t>0$ のもとで二次方程式に直せる。

したがって，まず

$$ t=2^x \quad (t>0) $$

とおいて整理するのが自然である。

解法1

$t=2^x\ (t>0)$ とおくと，

$$ 4^x-2^x=k $$

は

$$ t^2-t=k $$

すなわち

$$ t^2-t-k=0 $$

となる。

まず，$4^x-2^x=12$ のときを考えると，

$$ t^2-t-12=0 $$

より，

$$ (t-4)(t+3)=0 $$

である。$t=2^x>0$ であるから $t=4$ であり，

$$ 2^x=4 $$

より

$$ x=2 $$

となる。したがって，$[ア]=2$ である。

次に，方程式 $4^x-2^x=k$ がただ1つの解をもつ条件を調べる。

$t^2-t-k=0$ の解は

$$ t=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2} $$

である。ここで $t=2^x>0$ でなければならないので，この二次方程式が正の解をただ1つもつ条件を考えればよい。

二次関数

$$ y=t^2-t $$

を $t>0$ で考えると，

$$ y=\left(t-\frac12\right)^2-\frac14 $$

であるから，最小値は $-\dfrac14$ である。

したがって，$k$ の値によって次のようになる。

**(i)**

$k<-\dfrac14$ のとき

実数解をもたないので，解は存在しない。

**(ii)**

$k=-\dfrac14$ のとき

$$ \left(t-\frac12\right)^2=0 $$

より

$$ t=\frac12 $$

ただ1つである。したがって解はただ1つである。

**(iii)**

$-\dfrac14<k<0$ のとき

放物線と直線 $y=k$ は $t>0$ の範囲で2点で交わるので，正の解を2つもち，したがって $x$ も2つ存在する。

**(iv)**

$k\geqq0$ のとき

$t^2-t-k=0$ では解の積が $-k\leqq0$ であるから，$k>0$ なら1つは正，1つは負であり，正の解はただ1つである。

また，$k=0$ のときは

$$ t(t-1)=0 $$

より $t=0,1$ であるが，$t>0$ なので $t=1$ だけが許される。よってこのときも解はただ1つである。

以上より，方程式 $4^x-2^x=k$ がただ1つの解をもつのは

$$ k\geqq0 $$

または

$$ k=-\frac14 $$

のときである。したがって，

$$ [イ]=0,\quad [ウ]=-\frac14 $$

である。

さらに，$k=[ウ]=-\dfrac14$ のときは

$$ 4^x-2^x=-\frac14 $$

であり，$t=2^x$ とおけば

$$ t^2-t+\frac14=0 $$

すなわち

$$ \left(t-\frac12\right)^2=0 $$

となるから，

$$ t=\frac12 $$

である。よって

$$ 2^x=\frac12 $$

より

$$ x=-1 $$

となる。したがって，$[エ]=-1$ である。

解説

この問題の要点は，指数関数の式をそのまま扱わず，$2^x$ を1つの文字 $t$ に置き換えることである。すると，解の個数の問題は「二次方程式が正の解を何個もつか」という問題に帰着される。

特に $t=2^x>0$ という条件が重要である。二次方程式の実数解の個数だけでなく，そのうち正のものが何個あるかを確認しないと誤る。

答え

$$ [ア]=2,\quad [イ]=0,\quad [ウ]=-\frac14,\quad [エ]=-1 $$