解説

方針・初手

まず、等式

$$ x^2+y^2=x+y $$

を平方完成して図形を把握する。

つぎに、$t=x+y$ とおくと、与式そのものから $x^2+y^2=t$ が得られるので、$(x+y)^2$ を用いて $xy$ を $t$ で表す。このとき、$x,y$ が実数である条件を判別式で処理すれば、$t$ の範囲が求まる。

最後に、$F$ は対称式であるから、$x+y=t,\ xy=\dfrac{t^2-t}{2}$ を用いて $t$ の式に直し、区間上で最大値・最小値を調べればよい。

解法1

（1） まず与式を平方完成する。

$$ x^2-x+y^2-y=0 $$

より、

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac12 $$

となる。

したがって、①の表す図形は、中心 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$、半径 $\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ の円である。

なお、この円は $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ を通る。

（2） ①を満たすとき、$t=x+y$ であるから

$$ x^2+y^2=t $$

である。

また、

$$ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy $$

より、

$$ t^2=t+2xy $$

したがって、

$$ xy=\frac{t^2-t}{2} $$

となる。

ここで、$x,y$ は

$$ u^2-tu+\frac{t^2-t}{2}=0 $$

の2解である。$x,y$ が実数であるための必要十分条件は、この2次方程式の判別式が $0$ 以上であることである。

$$ \Delta=t^2-4\cdot \frac{t^2-t}{2} =t^2-2(t^2-t) =2t-t^2 =t(2-t) $$

よって、

$$ t(2-t)\geqq 0 $$

であるから、

$$ 0\leqq t\leqq 2 $$

となる。

**(3)**

$$ F=x^3+y^3-x^2y-xy^2 $$

を整理すると、

$$ F=(x+y)(x^2-2xy+y^2) $$

であるから、

$$ F=t{(x+y)^2-4xy}=t(t^2-4xy) $$

となる。

ここで、

$$ xy=\frac{t^2-t}{2} $$

を代入すると、

$$ F=t\left(t^2-4\cdot \frac{t^2-t}{2}\right) =t(t^2-2t^2+2t) =t(2t-t^2) $$

したがって、

$$ F=t^2(2-t) $$

である。

(2)より $0\leqq t\leqq 2$ なので、この区間で

$$ F(t)=t^2(2-t)=2t^2-t^3 $$

の最大値・最小値を調べる。

$$ F'(t)=4t-3t^2=t(4-3t) $$

より、臨界点は

$$ t=0,\ \frac43 $$

である。さらに端点 $t=2$ も調べると、

$$ F(0)=0,\qquad F\left(\frac43\right)=\frac{16}{9}\cdot \frac23=\frac{32}{27},\qquad F(2)=0 $$

となる。

よって、最大値は $\dfrac{32}{27}$、最小値は $0$ である。

解説

この問題の要点は、与式が円を表すことを見抜いたうえで、$t=x+y$ に着目して対称式を処理することである。

特に、

$$ x+y=t,\qquad xy=\frac{t^2-t}{2} $$

まで落とせれば、$x,y$ を直接扱わずに済む。実数条件は、$x,y$ を2次方程式の解とみて判別式で処理するのが典型である。

また、$F$ は

$$ F=(x+y)(x-y)^2 $$

とも見られるので、$0\leqq t\leqq 2$ のもとで非負になることも分かる。このため最小値が $0$ になる見通しも立てやすい。

答え

**(1)**

①の表す図形は

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac12 $$

で表される円である。中心は $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$、半径は $\dfrac{1}{\sqrt2}$ である。

**(2)**

$t$ のとりうる値の範囲は

$$ 0\leqq t\leqq 2 $$

である。

**(3)**

$$ F=t^2(2-t) $$

である。したがって、$F$ の最大値・最小値は

$$ \text{最大値 } \frac{32}{27},\qquad \text{最小値 } 0 $$

である。