解説

方針・初手

底面を一辺 $x$ の正方形とし、直方体の高さを $h$ とおく。

「底面以外の $5$ つの面の面積の和が $48$」という条件から $h$ を $x$ で表し、それを体積

$$ V=x^2h $$

に代入して $V$ を $x$ の式に直す。 その後、微分して最大値を求める。

解法1

底面は一辺 $x$ の正方形であるから、面積は

$$ x^2 $$

である。

また、上面の面積も

$$ x^2 $$

であり、側面 $4$ 枚の面積の和は

$$ 4xh $$

である。

したがって、底面以外の $5$ つの面の面積の和が $48$ であることから

$$ x^2+4xh=48 $$

となる。よって

$$ 4xh=48-x^2 $$

$$ h=\frac{48-x^2}{4x} $$

である。

したがって体積 $V$ は

$$ V=x^2h=x^2\cdot \frac{48-x^2}{4x} $$

より

$$ V=\frac{48x-x^3}{4}=12x-\frac{1}{4}x^3 $$

となる。

次にこれを微分すると

$$ \frac{dV}{dx}=12-\frac{3}{4}x^2 $$

である。

極値を調べるため

$$ \frac{dV}{dx}=0 $$

とおくと

$$ 12-\frac{3}{4}x^2=0 $$

$$ 48-3x^2=0 $$

$$ x^2=16 $$

底面の一辺の長さであるから $x>0$ より

$$ x=4 $$

である。

このとき

$$ V=12\cdot 4-\frac{1}{4}\cdot 4^3=48-16=32 $$

したがって、$V$ の最大値は $32$ である。

解説

この問題の要点は、高さ $h$ を直接求めるのではなく、まず面積条件

$$ x^2+4xh=48 $$

を立てることである。

これにより $h$ を $x$ の式に直せるので、体積 $V=x^2h$ を $x$ のみの関数として扱える。 あとは通常の最大値問題として微分すればよい。

また、$h>0$ でなければ直方体は作れないので、実際には

$$ 48-x^2>0 $$

すなわち $0<x<4\sqrt{3}$ の範囲で考えていることになる。その範囲内で $x=4$ が最大を与えている。

答え

$$ V=12x-\frac{1}{4}x^3 $$

$$ \frac{dV}{dx}=12-\frac{3}{4}x^2 $$

したがって、最大値は

$$ 32 $$

である。

よって

**[カ]** $12x-\dfrac{1}{4}x^3$

**[ケ]** $12-\dfrac{3}{4}x^2$

**[コ]** $32$