解説

方針・初手

$f(x)=\dfrac13 x^3-b^2x+b$ とおく。

3次関数が異なる3つの実数解をもつためには、グラフが $x$ 軸を3回横切る必要がある。したがって、極大値が正、極小値が負となることを調べればよい。

解法1

まず微分すると

$$ f'(x)=x^2-b^2 $$

である。

$b=0$ のときは

$$ f(x)=\frac13x^3 $$

となり、実数解は $x=0$ ただ1つである。よって、異なる3つの実数解をもつためには $b\neq0$ でなければならない。

ここで $a=|b| \ (>0)$ とおくと、

$$ f'(x)=x^2-a^2=(x-a)(x+a) $$

より、$f(x)$ は

• $x=-a$ で極大
• $x=a$ で極小

をとる。

したがって、異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は

$$ f(-a)>0,\quad f(a)<0 $$

である。

それぞれ計算すると

$$ f(-a)=\frac13(-a)^3-b^2(-a)+b =-\frac13a^3+a^3+b =\frac23a^3+b $$

$$ f(a)=\frac13a^3-b^2a+b =\frac13a^3-a^3+b =-\frac23a^3+b $$

となる。

ここで $a=|b|$ なので、$b$ の符号で場合分けする。

**(i)**

$b>0$ のとき

このとき $a=b$ であるから

$$ f(-a)=\frac23b^3+b=b\left(1+\frac23b^2\right)>0 $$

は自動的に成り立つ。

一方、

$$ f(a)=-\frac23b^3+b =b\left(1-\frac23b^2\right)<0 $$

より、$b>0$ であることを用いて

$$ 1-\frac23b^2<0 $$

すなわち

$$ b^2>\frac32 $$

を得る。したがって

$$ b>\sqrt{\frac32} $$

である。

**(ii)**

$b<0$ のとき

このとき $a=-b$ であるから

$$ f(a)=-\frac23a^3+b =-\frac23a^3-a<0 $$

は自動的に成り立つ。

一方、

$$ f(-a)=\frac23a^3+b =\frac23a^3-a =a\left(\frac23a^2-1\right)>0 $$

より

$$ \frac23a^2-1>0 $$

すなわち

$$ a^2>\frac32 $$

を得る。$a=|b|$ なので

$$ |b|>\sqrt{\frac32} $$

であり、$b<0$ と合わせると

$$ b<-\sqrt{\frac32} $$

となる。

以上より、求める範囲は

$$ b<-\sqrt{\frac32}\quad \text{または}\quad b>\sqrt{\frac32} $$

である。

解法2

方程式を3倍して

$$ x^3-3b^2x+3b=0 $$

とする。

これは $x^3+px+q=0$ の形で、$p=-3b^2,\ q=3b$ である。

この形の3次方程式が異なる3つの実数解をもつための条件は、判別式

$$ -4p^3-27q^2>0 $$

である。

したがって

$$ -4(-3b^2)^3-27(3b)^2>0 $$

$$ 108b^6-243b^2>0 $$

$$ 27b^2(4b^4-9)>0 $$

となる。

異なる3つの実数解をもつには $b\neq0$ であるから、両辺を $27b^2$ で割って

$$ 4b^4-9>0 $$

$$ b^4>\frac94 $$

$$ b^2>\frac32 $$

よって

$$ b<-\sqrt{\frac32}\quad \text{または}\quad b>\sqrt{\frac32} $$

である。

解説

この問題の本質は、3次関数が異なる3つの実数解をもつ条件を「極大値が正、極小値が負」と言い換えることである。

微分すると極値の位置は $x=\pm|b|$ に決まり、あとはそのときの関数値の符号を見るだけでよい。判別式を知っていれば一気に処理できるが、微分を用いる方法のほうが状況が見えやすい。

答え

$$ b<-\sqrt{\frac32}\quad \text{または}\quad b>\sqrt{\frac32} $$