解説

方針・初手

共有点の個数は

$$ x^2+a=4|x-1|-3 $$

を満たす実数 $x$ の個数に等しい。

絶対値を含むので、$x<1$ と $x\geqq 1$ に分けて調べるのが初手である。

解法1

（i） $x<1$ のとき

このとき

$$ |x-1|=1-x $$

であるから、

$$ x^2+a=4(1-x)-3=1-4x $$

より

$$ x^2+4x+(a-1)=0 $$

すなわち

$$ (x+2)^2=5-a $$

となる。したがって

$$ x=-2\pm \sqrt{5-a} $$

である。

ここで $x<1$ を満たすかどうかを調べる。

• $x=-2-\sqrt{5-a}$ は、$a\leqq 5$ なら常に $1$ より小さい。
• $x=-2+\sqrt{5-a}$ については

$$ -2+\sqrt{5-a}<1 $$

$$ \sqrt{5-a}<3 $$

$$ 5-a<9 $$

$$ a>-4 $$

となる。

よって、$x<1$ における共有点の個数は

• $a>5$ のとき $0$ 個
• $a=5$ のとき $1$ 個
• $-4<a<5$ のとき $2$ 個
• $a\leqq -4$ のとき $1$ 個

である。

（ii） $x\geqq 1$ のとき

このとき

$$ |x-1|=x-1 $$

であるから、

$$ x^2+a=4(x-1)-3=4x-7 $$

より

$$ x^2-4x+(a+7)=0 $$

すなわち

$$ (x-2)^2=-a-3 $$

となる。したがって

$$ x=2\pm \sqrt{-a-3} $$

である。

ここで $x\geqq 1$ を満たすかどうかを調べる。

• まず実数解をもつためには $-a-3\geqq 0$、すなわち $a\leqq -3$ が必要である。
• $x=2+\sqrt{-a-3}$ は、$a\leqq -3$ なら常に $1$ 以上である。
• $x=2-\sqrt{-a-3}$ については

$$ 2-\sqrt{-a-3}\geqq 1 $$

$$ \sqrt{-a-3}\leqq 1 $$

$$ -a-3\leqq 1 $$

$$ a\geqq -4 $$

となる。

よって、$x\geqq 1$ における共有点の個数は

• $a>-3$ のとき $0$ 個
• $a=-3$ のとき $1$ 個
• $-4<a<-3$ のとき $2$ 個
• $a=-4$ のとき $2$ 個
• $a<-4$ のとき $1$ 個

である。

（iii） 全体の個数

両者を合計すると、共有点の個数は次のようになる。

• $a>5$ のとき $0$ 個
• $a=5$ のとき $1$ 個
• $-3<a<5$ のとき $2$ 個
• $a=-3$ のとき $3$ 個
• $-4<a<-3$ のとき $4$ 個
• $a=-4$ のとき $3$ 個
• $a<-4$ のとき $2$ 個

解説

絶対値を含む関数 $y=4|x-1|-3$ は、頂点 $(1,-3)$ をもつ折れ線であり、$x=1$ を境に式が変わる。したがって、共有点の個数も左右の枝ごとに二次方程式を作って数えるのが最も確実である。

特に、二次方程式の解を求めるだけでは不十分で、その解が本当に $x<1$ または $x\geqq 1$ を満たしているかを確認する必要がある。ここを確認しないと、余分な解を数えてしまう。

答え

共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (a>5),\\ 1 & (a=5),\\ 2 & (-3<a<5,\ a<-4),\\ 3 & (a=-3,\ a=-4),\\ 4 & (-4<a<-3). \end{cases} $$

である。