解説

方針・初手

交点の個数は

$$ x^3-4x^2+6x=x+\alpha $$

を満たす実数 $x$ の個数に等しい。

これを整理すると

$$ \alpha=x^3-4x^2+5x $$

となるので，関数

$$ g(x)=x^3-4x^2+5x $$

のグラフと水平線 $y=\alpha$ の交点個数を調べればよい。したがって，$g(x)$ の極大値・極小値を求めるのが初手である。

解法1

交点の $x$ 座標は

$$ x^3-4x^2+5x-\alpha=0 $$

の実数解である。

ここで

$$ g(x)=x^3-4x^2+5x $$

とおくと，

$$ g'(x)=3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1) $$

である。よって増減は

• $x<1$ で $g'(x)>0$
• $1<x<\dfrac53$ で $g'(x)<0$
• $x>\dfrac53$ で $g'(x)>0$

となる。

したがって，$x=1$ で極大，$x=\dfrac53$ で極小をとる。

実際に値を計算すると，

$$ g(1)=1-4+5=2 $$

$$ g\left(\frac53\right)=\frac{125}{27}-\frac{100}{9}+\frac{25}{3} =\frac{125-300+225}{27} =\frac{50}{27} $$

である。

よって，$g(x)$ の概形は，左下から上昇して $x=1$ で極大値 $2$ をとり，その後下降して $x=\dfrac53$ で極小値 $\dfrac{50}{27}$ をとり，再び上昇する形である。

したがって，水平線 $y=\alpha$ との交点個数，すなわちもとの2つのグラフの交点個数は次のように分類される。

**(i)**

$\alpha<\dfrac{50}{27}$ のとき

極小値より下にあるので，交点は $1$ 個である。

**(ii)**

$\alpha=\dfrac{50}{27}$ のとき

極小値に一致するので，$x=\dfrac53$ で接し，さらにもう1点で交わる。したがって交点は $2$ 個である。

**(iii)**

$\dfrac{50}{27}<\alpha<2$ のとき

極小値と極大値の間にあるので，交点は $3$ 個である。

**(iv)**

$\alpha=2$ のとき

極大値に一致するので，$x=1$ で接し，さらにもう1点で交わる。したがって交点は $2$ 個である。

**(v)**

$\alpha>2$ のとき

極大値より上にあるので，交点は $1$ 個である。

解説

この問題の要点は，もとの式

$$ x^3-4x^2+6x=x+\alpha $$

をそのまま3次方程式として扱うのではなく，

$$ \alpha=x^3-4x^2+5x $$

と変形して，$\alpha$ を「水平線の高さ」とみなすことである。

直線 $y=x+\alpha$ は傾きが常に $1$ で，$\alpha$ によって上下に平行移動する。そこで両辺から $x$ を引くと，交点問題が「3次関数 $g(x)$ と水平線 $y=\alpha$ の交点個数」の問題に置き換わる。あとは極大値と極小値を押さえれば，個数の変化は一目で分かる。

特に，$\alpha=2$ と $\alpha=\dfrac{50}{27}$ では接するため，方程式としては重解をもつが，交点の個数はそれぞれ $2$ 個であることに注意する。

答え

交点の個数は，$\alpha$ の値によって次のように変化する。

$\alpha<\dfrac{50}{27}$ のとき　$1$ 個

$\alpha=\dfrac{50}{27}$ のとき　$2$ 個

$\dfrac{50}{27}<\alpha<2$ のとき　$3$ 個

$\alpha=2$ のとき　$2$ 個

$\alpha>2$ のとき　$1$ 個

したがって，交点の個数は

$$ 1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 1 $$

の順に変化する。