解説

方針・初手

与えられた2式から、$y,z$ については和と積

$$ y+z=-4x,\qquad yz=6x^2-18 $$

が分かる。したがって、$y,z$ が実数である条件は判別式で処理できる。

また、求める式 $-2x^3+y^2+z^2$ も $y+z,\ yz$ を用いれば $x$ だけの式に直せるので、最後は $x$ の範囲内で最小値を調べればよい。

解法1

与えられた条件は

$$ 4x+y+z=0,\qquad 6x^2-yz-18=0 $$

であるから、

$$ y+z=-4x,\qquad yz=6x^2-18 $$

となる。

$y,z$ は2次方程式

$$ t^2-(y+z)t+yz=0 $$

すなわち

$$ t^2+4xt+(6x^2-18)=0 $$

の2実根である。

よって、この2次方程式の判別式が $0$ 以上であることが必要十分である。したがって

$$ (4x)^2-4(6x^2-18)\geqq 0 $$

より

$$ 16x^2-24x^2+72\geqq 0 $$

$$ 72-8x^2\geqq 0 $$

$$ x^2\leqq 9 $$

となるので、

$$ -3\leqq x\leqq 3 $$

である。

次に、

$$ y^2+z^2=(y+z)^2-2yz $$

を用いると、

$$ y^2+z^2=(-4x)^2-2(6x^2-18) $$

$$ =16x^2-12x^2+36 $$

$$ =4x^2+36 $$

である。したがって

$$ -2x^3+y^2+z^2=-2x^3+4x^2+36 $$

となる。

ここで

$$ -2x^3+4x^2+36-18=-2x^3+4x^2+18 $$

を因数分解すると、

$$ -2x^3+4x^2+18 = -2(x^3-2x^2-9) = -2(x-3)(x^2+x+3) $$

よって

$$ -2x^3+4x^2+36 =18+2(3-x)(x^2+x+3) $$

である。

$x^2+x+3=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{11}{4}>0$ であり、さらに $-3\leqq x\leqq 3$ より $3-x\geqq 0$ であるから、

$$ 2(3-x)(x^2+x+3)\geqq 0 $$

したがって

$$ -2x^3+y^2+z^2\geqq 18 $$

となり、最小値は $18$ である。

等号成立は

$$ 3-x=0 $$

すなわち

$$ x=3 $$

のときである。

このとき

$$ y+z=-12,\qquad yz=36 $$

より、$y,z$ は

$$ t^2+12t+36=0 $$

の解であるから、

$$ (t+6)^2=0 $$

となり、

$$ y=z=-6 $$

である。

解説

この問題の要点は、$y,z$ を個別に追わず、和と積で処理することである。

$y,z$ が実数である条件は、$y,z$ を解にもつ2次方程式を作って判別式で調べるのが基本である。また、$y^2+z^2$ は

$$ y^2+z^2=(y+z)^2-2yz $$

で表せるため、与式も自然に $x$ だけの式へ落ちる。

最小値の判定は微分でもできるが、この問題では $x=3$ を根にもつことに気づいて因数分解すると、範囲条件 $-3\leqq x\leqq 3$ がそのまま使えて見通しがよい。

答え

$$ \text{[ア]}=-3,\qquad \text{[イ]}=3 $$

$$ \text{[サ]}=3,\qquad \text{[エ]}=-6,\qquad \text{[オ]}=-6,\qquad \text{[カ]}=18 $$