解説

方針・初手

原点 $O$ から見た点 $A(1,1)$、$P(t,t^3)$ を考える問題である。

（1） はベクトルの内積を使えばよい。 （2） は三角形の面積をベクトルの行列式で表すと簡潔である。 （3） は （2） で得た $S(t)$ を微分して増減を調べればよい。

解法1

点 $O$ を原点とするので、

$$ \overrightarrow{OP}=(t,t^3),\qquad \overrightarrow{OA}=(1,1) $$

である。

（1） $\cos\theta$ を求める

内積の公式より、

$$ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OP}|,|\overrightarrow{OA}|} $$

である。

ここで、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=t+t^3=t(1+t^2) $$

また、

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{t^2+t^6}=t\sqrt{1+t^4} $$

である。ただし $0<t<1$ だから $t>0$ であり、$\sqrt{t^2}=t$ としてよい。

さらに、

$$ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $$

だから、

$$ \cos\theta =\frac{t(1+t^2)}{t\sqrt{1+t^4}\sqrt{2}} =\frac{1+t^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+t^4}} $$

となる。

（2） 面積 $S$ を求める

三角形 $POA$ の面積は、ベクトルの行列式を用いて

$$ S=\frac12\left| \begin{vmatrix} t & t^3\\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right| $$

と表せる。

計算すると、

$$ \begin{vmatrix} t & t^3\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =t-t^3=t(1-t^2) $$

である。ここで $0<t<1$ より $1-t^2>0$ だから、

$$ t-t^3>0 $$

となり、絶対値はそのまま外せる。したがって、

$$ S=\frac12(t-t^3) $$

である。

（3） $S$ の増減と最大値を求める

（2） より、

$$ S(t)=\frac12(t-t^3)\qquad (0<t<1) $$

である。

これを微分すると、

$$ S'(t)=\frac12(1-3t^2) $$

となる。

したがって、

$$ S'(t)=0 \iff 1-3t^2=0 \iff t=\frac1{\sqrt3} $$

である。$0<t<1$ においてはこの値だけを考えればよい。

ここで、

$1-3t^2>0$ だから $S'(t)>0$

• （i） $0<t<\dfrac1{\sqrt3}$ のとき

$1-3t^2<0$ だから $S'(t)<0$

• （ii） $\dfrac1{\sqrt3}<t<1$ のとき

よって、$S$ は

• $0<t<\dfrac1{\sqrt3}$ で増加
• $\dfrac1{\sqrt3}<t<1$ で減少

するので、$t=\dfrac1{\sqrt3}$ のとき最大となる。

そのときの最大値は、

$$ S\left(\frac1{\sqrt3}\right) =\frac12\left(\frac1{\sqrt3}-\frac1{3\sqrt3}\right) =\frac12\cdot \frac2{3\sqrt3} =\frac1{3\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{9} $$

である。

解説

この問題の要点は、座標が与えられているので図形的に考え込みすぎず、ベクトルとして処理することである。

特に、

• 角は内積
• 面積は行列式
• 最大値は関数にして微分

という流れが典型である。

（2） では $0<t<1$ という条件から $t-t^3>0$ が分かるため、絶対値を自然に外せる。この符号確認を省略しないことが大切である。

答え

**(1)**

$$ \cos\theta=\frac{1+t^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+t^4}} $$

**(2)**

$$ S=\frac12(t-t^3) $$

**(3)**

$$ S'(t)=\frac12(1-3t^2) $$

より、

$0<t<\dfrac1{\sqrt3}$ で増加

$\dfrac1{\sqrt3}<t<1$ で減少

したがって、$S$ は

$$ t=\frac1{\sqrt3} $$

のとき最大となり、その最大値は

$$ \frac1{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9} $$

である。