解説

方針・初手

$x=\sin \theta$ とおくと、$\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ では $x$ は $-1 \le x \le 1$ を動き、しかも $\sin \theta$ は単調増加であるから、$\theta$ の問題をそのまま $x$ の問題に言い換えられる。

まず $\cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta = 1-2x^2$ を用いて $f(\theta)$ を $x$ の三次式に直し、その後その三次関数の増減を調べる。

解法1

**(1)**

$x=\sin \theta$ とおくと、

$$ \cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta = 1-2x^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=4\cos 2\theta \sin\theta +3\sqrt{2}\cos 2\theta -4\sin\theta \\ &=4(1-2x^2)x+3\sqrt{2}(1-2x^2)-4x \\ &=4x-8x^3+3\sqrt{2}-6\sqrt{2}x^2-4x \\ &=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ f(\theta)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2} \quad (-1\le x\le 1) $$

である。

**(2)**

$g(x)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}$ とおくと、$-1\le x\le 1$ において $f(\theta)=g(x)$ である。

微分すると、

$$ g'(x)=-24x^2-12\sqrt{2}x=-12x(2x+\sqrt{2}) $$

となる。よって停留点は

$$ x=0,\quad x=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

である。

そこで、$-1\le x\le 1$ における増減を調べる。

• $-1\le x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ では $g'(x)<0$
• $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<x<0$ では $g'(x)>0$
• $0<x\le 1$ では $g'(x)<0$

したがって、$g(x)$ は $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ で極小、$x=0$ で極大をとる。

各値を計算すると、

$$ g(-1)=8-3\sqrt{2} $$

$$ g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =-8\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3-6\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+3\sqrt{2} =2\sqrt{2} $$

$$ g(0)=3\sqrt{2} $$

$$ g(1)=-8-3\sqrt{2} $$

である。

よって、区間 $[-1,1]$ における最大値・最小値は

$$ \max g(x)=3\sqrt{2},\qquad \min g(x)=-8-3\sqrt{2} $$

となる。

ここで $x=\sin\theta$ であり、$\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ では $\sin\theta$ は単調増加だから、

• $x=0$ のとき $\theta=0$
• $x=1$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{2}$

である。

したがって、

$$ f(\theta)\text{ の最大値 }=3\sqrt{2}\quad (\theta=0) $$

$$ f(\theta)\text{ の最小値 }=-8-3\sqrt{2}\quad \left(\theta=\frac{\pi}{2}\right) $$

である。

**(3)**

方程式 $f(\theta)=a$ は、$x=\sin\theta$ を用いれば

$$ g(x)=a \quad (-1\le x\le 1) $$

と同値である。しかも $\sin\theta$ はこの区間で1対1であるから、$\theta$ の解の個数は $x$ の解の個数と一致する。

先ほどの増減より、$g(x)$ のグラフは

• $[-1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ で減少
• $[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0]$ で増加
• $[0,1]$ で減少

する。

さらに各区間での値の範囲は、

$$ g([-1,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}])=[,2\sqrt{2},,8-3\sqrt{2},] $$

$$ g([-\tfrac{\sqrt{2}}{2},0])=[,2\sqrt{2},,3\sqrt{2},] $$

$$ g([0,1])=[,-8-3\sqrt{2},,3\sqrt{2},] $$

である。

相異なる3つの解をもつためには、これら3つの単調区間それぞれでちょうど1つずつ解をもてばよい。

そのためには、

• 左の減少区間で1つ解をもつために $a\le 8-3\sqrt{2}$
• 真ん中の増加区間で1つ解をもつために $2\sqrt{2}<a<3\sqrt{2}$
• 右の減少区間で1つ解をもつために $a<3\sqrt{2}$

が必要である。

ここで $a=2\sqrt{2}$ では $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ が重なってしまい、相異なる3解にはならない。一方、$a=8-3\sqrt{2}$ では $x=-1$ が1つの解となり、他の2区間にもそれぞれ1つずつ解があるので、相異なる3解をもつ。

よって求める範囲は

$$ 2\sqrt{2}<a\le 8-3\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta$ を文字 $x$ に置き換えて三次関数の問題に直すことである。区間が $\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ なので、$\sin\theta$ が単調増加で1対1になる点が重要である。

したがって、最大最小も解の個数も、三次関数 $g(x)$ の増減を見ればそのまま処理できる。特に （3） では、極小値 $2\sqrt{2}$、極大値 $3\sqrt{2}$、左端の値 $8-3\sqrt{2}$ を正確に比較して、各単調区間での解の個数を判定することが決め手である。

答え

**(1)**

$$ f(\theta)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2} \qquad (x=\sin\theta,\ -1\le x\le 1) $$

**(2)**

最大値は

$$ 3\sqrt{2} $$

そのとき

$$ \theta=0 $$

最小値は

$$ -8-3\sqrt{2} $$

そのとき

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

**(3)**

$$ 2\sqrt{2}<a\le 8-3\sqrt{2} $$