解説

方針・初手

面積はベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の外積を用いると処理しやすい。

まず （1） は、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が比例しないこと、すなわち外積が $\boldsymbol{0}$ にならないことを示せばよい。

つぎに （2） では

$$ S=\frac12\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right| $$

を計算し、$\sin\theta$ のみで表す。

最後に （3） では $t=\sin^2\theta$ とおいて $0\le t\le 1$ の三次関数の最大・最小に帰着する。

解法1

点 $A,B,O$ に対応する位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OA}=(\cos\theta,\sin\theta,0),\qquad \overrightarrow{OB}=(0,\sin2\theta,\cos2\theta) $$

である。

（1） 点 $A,B,O$ が同一直線上にないこと

$O,A,B$ が同一直線上にあるならば、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は平行であるから、

$$ \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{0} $$

であるはずである。

実際に計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \cos\theta&\sin\theta&0\\ 0&\sin2\theta&\cos2\theta \end{vmatrix}\\ &= (\sin\theta\cos2\theta,-\cos\theta\cos2\theta,\cos\theta\sin2\theta) \end{aligned} $$

となる。

これが $\boldsymbol{0}$ ならば、特に第1成分と第2成分から

$$ \sin\theta\cos2\theta=0,\qquad \cos\theta\cos2\theta=0 $$

であるので、

$$ \cos2\theta=0 $$

が従う。

このとき $\sin2\theta=\pm1$ であるから、第3成分 $\cos\theta\sin2\theta=0$ より

$$ \cos\theta=0 $$

となる。しかし $\cos\theta=0$ ならば

$$ \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi $$

であり、

$$ \cos2\theta=\cos(\pi+2k\pi)=-1 $$

となって $\cos2\theta=0$ に矛盾する。

よって

$$ \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\ne \boldsymbol{0} $$

であり、点 $A,B,O$ の3点は同一直線上にない。

（2） 三角形 $OAB$ の面積 $S$

三角形 $OAB$ の面積は

$$ S=\frac12\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right| $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|^2 &= (\sin\theta\cos2\theta)^2+(-\cos\theta\cos2\theta)^2+(\cos\theta\sin2\theta)^2 \end{aligned} $$

\begin{aligned} \cos^2 2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\cos^2\theta\sin^2 2\theta &= \cos^2 2\theta+\cos^2\theta\sin^2 2\theta \end{aligned}

$$

である。

ここで $\sin\theta=x$ とおくと、$\cos^2\theta=1-x^2$ であり、

$$

\cos2\theta=1-2x^2,\qquad \sin^2 2\theta=4x^2(1-x^2)

$$

だから、

$$

\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|^2 =(1-2x^2)^2+(1-x^2)\cdot 4x^2(1-x^2)

$$

$$

=1-4x^4+4x^6

$$

となる。よって

$$

S=\frac12\sqrt{1-4\sin^4\theta+4\sin^6\theta}

$$

である。

（3） $S$ の最大値と最小値

$t=\sin^2\theta$ とおくと

$$

0\le t\le 1

$$

であり、

$$

S=\frac12\sqrt{4t^3-4t^2+1}

$$

となる。

平方根は単調増加であるから、

$$

f(t)=4t^3-4t^2+1

$$

の最大・最小を求めればよい。

微分すると

$$

f'(t)=12t^2-8t=4t(3t-2)

$$

であるから、

• $0\le t<\dfrac23$ で $f'(t)<0$
• $\dfrac23<t\le 1$ で $f'(t)>0$

となる。したがって $f(t)$ は $t=\dfrac23$ で最小となり、最大は端点 $t=0,1$ でとる。

実際に値を計算すると、

$$

f(0)=1,\qquad f(1)=1,\qquad f\left(\frac23\right)=4\cdot\frac{8}{27}-4\cdot\frac{4}{9}+1=\frac{11}{27}

$$

である。

よって

$$

S_{\max}=\frac12\sqrt{1}=\frac12

$$

$$

S_{\min}=\frac12\sqrt{\frac{11}{27}}=\frac{\sqrt{33}}{18}

となる。

解説

この問題の要点は、空間図形であってもベクトルで処理すれば機械的に進められることである。

（1） では「同一直線上にない」を、位置ベクトルが平行でないことに言い換えるのが基本である。

（2） では面積公式

$$ S=\frac12|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}| $$

を使うのが最短である。内積を使って

$$ S=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2} $$

としても求められるが、この問題では外積のほうが整理しやすい。

（3） では $\sin\theta$ がそのまま動くと見て扱うより、$t=\sin^2\theta$ とおいて区間 $[0,1]$ 上の関数に落とすのが定石である。

答え

**(1)**

点 $A,B,O$ は同一直線上にない。

**(2)**

$$ S=\frac12\sqrt{1-4\sin^4\theta+4\sin^6\theta} $$

**(3)**

$$

\text{最大値 } \frac12,\qquad \text{最小値 } \frac{\sqrt{33}}{18}

$$