解説

方針・初手

$t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、

$$ t^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta =1+2\sin\theta\cos\theta $$

となるので、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せる。

また、与えられた方程式 $2\sin\theta\cos\theta-2(\sin\theta+\cos\theta)-k=0$ も $t$ の二次方程式に直せる。したがって、まず $t$ の取りうる範囲を求め、そのうえで各 $t$ に対して $\theta$ が何個対応するかを調べればよい。

解法1

**(1)**

$t=\sin\theta+\cos\theta$ より、

$$ t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2 =\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta =1+2\sin\theta\cos\theta $$

である。よって、

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

となる。

**(2)**

$t=\sin\theta+\cos\theta$ を変形すると、

$$ t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで $0\leqq\theta\leqq\pi$ だから、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

となる。この区間で $\sin x$ の最大値は $1$、最小値は $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$$ -!1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

となる。

**(3)**

与えられた方程式は

$$ 2\sin\theta\cos\theta-2(\sin\theta+\cos\theta)-k=0 $$

である。(1)より $2\sin\theta\cos\theta=t^2-1$ だから、

$$ t^2-1-2t-k=0 $$

すなわち

$$ t^2-2t-(k+1)=0 $$

となる。これを解くと、

$$ t=1\pm \sqrt{k+2} $$

である。

したがって、まずこの2つの値が区間 $[-1,\sqrt{2}]$ に入るかどうかを調べ、さらにその $t$ に対して $\theta$ が何個あるかを数えればよい。

ここで $t=\sin\theta+\cos\theta$ は $0\leqq\theta\leqq\pi$ において、

• $\theta=0$ で $t=1$
• $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で $t=\sqrt{2}$
• $\theta=\pi$ で $t=-1$

をとる。また

$$ \frac{dt}{d\theta}=\cos\theta-\sin\theta $$

より、$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{4}$ では増加し、$\dfrac{\pi}{4}<\theta\leqq\pi$ では減少する。よって、

• $-1\leqq t<1$ なら対応する $\theta$ は1個
• $1\leqq t<\sqrt{2}$ なら対応する $\theta$ は2個
• $t=\sqrt{2}$ なら対応する $\theta$ は1個

である。

以下、各 $k$ について調べる。

**(i) $k=1$ のとき**

$$ t=1\pm \sqrt{3} $$

となる。$1+\sqrt{3}>\sqrt{2}$ であるから不適、$1-\sqrt{3}$ は

$$ -1<1-\sqrt{3}<1 $$

を満たすので適する。したがって対応する $\theta$ は1個である。

**(ii) $k=1-2\sqrt{2}$ のとき**

$$ k+2=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2 $$

より、

$$ t=1\pm (\sqrt{2}-1) $$

すなわち

$$ t=\sqrt{2},\quad t=2-\sqrt{2} $$

となる。

$t=\sqrt{2}$ に対しては $\theta$ は1個、また $0<2-\sqrt{2}<1$ であるから $t=2-\sqrt{2}$ に対しても $\theta$ は1個である。よって解は合計2個である。

**(iii) $k=-1.9$ のとき**

$$ t=1\pm \sqrt{0.1} $$

となる。

ここで

$$ 1-\sqrt{0.1}<1,\qquad 1+\sqrt{0.1}<\sqrt{2} $$

であるから、2つの値はいずれも $[-1,\sqrt{2}]$ に入る。

さらに、

• $t=1-\sqrt{0.1}$ は $-1\leqq t<1$ に属するので対応する $\theta$ は1個
• $t=1+\sqrt{0.1}$ は $1\leqq t<\sqrt{2}$ に属するので対応する $\theta$ は2個

である。したがって解は合計3個である。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta+\cos\theta$ を1つの文字 $t$ で置くことで、三角関数の方程式を二次方程式に落とすことである。

ただし、$t$ の値が決まっても $\theta$ の個数は一様ではない。したがって、(3)では単に $t$ の解の個数を数えるだけでは不十分であり、$0\leqq\theta\leqq\pi$ における $t=\sin\theta+\cos\theta$ の増減と値域を合わせて見る必要がある。

答え

**(1)**

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

**(2)**

$$ -!1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

**(3)**

方程式の解の個数は

$k=1$ のとき $1$ 個

$k=1-2\sqrt{2}$ のとき $2$ 個

$k=-1.9$ のとき $3$ 個

である。