解説

方針・初手

角を1つに絞って面積を関数化する。

条件 $\angle B=2\angle A$ と $BC=1$ から，$\angle B$ を変数にとれば三角形は一意的に定まり，正弦定理で $AB$ を $\angle B$ の式にできる。あとは面積を微分して最大条件を課せばよい。

解法1

$\angle B=\theta$ とおく。すると

$$ \angle A=\frac{\theta}{2},\qquad \angle C=\pi-\frac{3\theta}{2} $$

である。三角形の内角の条件より

$$ 0<\theta<\frac{2\pi}{3} $$

である。

正弦定理より

$$ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} $$

であるから，$BC=1$ を用いて

$$ AB=\frac{\sin C}{\sin A} =\frac{\sin\left(\pi-\frac{3\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}} =\frac{\sin\frac{3\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} $$

となる。

したがって，三角形の面積を $S$ とすると

$$ S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B =\frac12\cdot \frac{\sin\frac{3\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cdot \sin\theta $$

である。ここで

$$ \sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} $$

を用いると，

$$ S=\sin\frac{3\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} =\frac12\left(\sin2\theta+\sin\theta\right) $$

となる。

よって

$$ S'=\cos2\theta+\frac12\cos\theta $$

であり，極値条件 $S'=0$ は

$$ 2\cos2\theta+\cos\theta=0 $$

である。

ここで $x=\cos\theta$ とおくと，

$$ \cos2\theta=2x^2-1 $$

より

$$ 2(2x^2-1)+x=0 $$

すなわち

$$ 4x^2+x-2=0 $$

を得る。これを解いて

$$ x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8} $$

である。

一方，$0<\theta<\dfrac{2\pi}{3}$ より

$$ -\frac12<\cos\theta<1 $$

であるから，適するのは

$$ \cos\theta=\frac{-1+\sqrt{33}}{8} $$

のみである。

また，$\theta\to0$ および $\theta\to\dfrac{2\pi}{3}$ のときは面積 $S\to0$ であり，区間内の臨界点はこの1つだけであるから，このとき面積は最大となる。

したがって

$$ \cos\angle B=\frac{\sqrt{33}-1}{8} $$

である。

解説

$\angle B=2\angle A$ という条件があるので，角を1つ決めれば三角形全体が決まる。したがって，面積を1変数関数に落とすのが自然である。

この問題では，正弦定理で辺 $AB$ を角の式に直し，

$$ S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B $$

と表すのが最も素直である。微分すると三角関数の方程式が二次方程式に帰着し，$\cos\angle B$ を直接求められる。

答え

$$ \cos\angle B=\frac{\sqrt{33}-1}{8} $$