解説

方針・初手

曲線 $C:y=x^3-x$ 上の点 $(a,\ a^3-a)$ における接線を考え，それが点 $P(1,t)$ を通る条件を $a$ で表す。

すると，$P$ から引ける接線の本数は，その条件式の実数解の個数に一致する。まずその個数を調べ，ついで接線と曲線の交点を用いて面積を計算する。

解法1

$C:y=x^3-x$ 上の $x=a$ における接線の傾きは

$$ 3a^2-1 $$

であるから，その接線は

$$ y=(3a^2-1)(x-a)+(a^3-a) =(3a^2-1)x-2a^3 $$

と表される。

この接線が $P(1,t)$ を通るための条件は

$$ t=(3a^2-1)-2a^3=-2a^3+3a^2-1 $$

すなわち

$$ t=-(a-1)^2(2a+1) $$

である。

したがって，$P(1,t)$ から $C$ へ引ける接線の本数は，方程式

$$ -2a^3+3a^2-1=t $$

の実数解の個数に等しい。

（1） 接線がちょうど1本だけ引けるような $t$ の範囲

$f(a)=-2a^3+3a^2-1$ とおくと，

$$ f'(a)=-6a(a-1) $$

であるから，$f$ は

• $(-\infty,0]$ で減少
• $[0,1]$ で増加
• $[1,\infty)$ で減少

する。

また，

$$ f(0)=-1,\qquad f(1)=0 $$

である。

よって，水平線 $y=t$ と $y=f(a)$ の交点がちょうど1個となるのは，

$$ t<-1 \quad \text{または} \quad t>0 $$

のときである。

したがって求める範囲は

$$ t<-1 \quad \text{または} \quad t>0 $$

である。

（2） 面積 $S(t)$ のとりうる値の範囲

$x=a$ における接線を $L$ とすると，

$$ C-L = \bigl(x^3-x\bigr)-\bigl((3a^2-1)x-2a^3\bigr) = x^3-3a^2x+2a^3 $$

である。これを因数分解すると

$$ x^3-3a^2x+2a^3=(x-a)^2(x+2a) $$

となる。

したがって，接線 $L$ は $x=a$ で接し，さらに $x=-2a$ でも $C$ と交わる。よって，$L$ と $C$ で囲まれる部分の面積は

$$ S(t)=\left|\int_a^{-2a}(x-a)^2(x+2a),dx\right| $$

である。

ここで $u=x-a$ とおくと，$x=a$ のとき $u=0$，$x=-2a$ のとき $u=-3a$ であるから，

$$ S(t) =\left|\int_0^{-3a}u^2(u+3a),du\right| $$

となる。積分すると

$$ \int u^2(u+3a),du=\frac{u^4}{4}+au^3 $$

より，

$$ S(t) =\left|\left[\frac{u^4}{4}+au^3\right]_0^{-3a}\right| =\left|\frac{81a^4}{4}-27a^4\right| =\frac{27}{4}a^4 $$

を得る。

ここで，（1） の範囲で接線が1本だけとなるのは，

• $t>0$ のとき $a<-\dfrac12$
• $t<-1$ のとき $a>\dfrac32$

である。

したがって

$$ a\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup\left(\frac32,\infty\right) $$

であり，特に

$$ a^4>\left(\frac12\right)^4=\frac1{16} $$

が成り立つ。よって

$$ S(t)=\frac{27}{4}a^4>\frac{27}{4}\cdot\frac1{16}=\frac{27}{64} $$

である。

一方，$a\to-\dfrac12-0$ とすると $S(t)\to\dfrac{27}{64}$，また $|a|\to\infty$ とすると $S(t)\to\infty$ であるから，

$$ S(t)>\frac{27}{64} $$

となる。

解説

接線を「接点の $x$ 座標 $a$」で表すのが基本方針である。この問題では，接線が点 $P(1,t)$ を通る条件が

$$ t=-2a^3+3a^2-1 $$

という3次式になり，接線の本数はこの方程式の実数解の個数に帰着する。

また，接線と曲線の差が

$$ (x-a)^2(x+2a) $$

ときれいに因数分解できるため，もう1つの交点がすぐに分かり，面積計算も容易になる。接点で重解をもつことを利用するのが要点である。

答え

**(1)**

$$ t<-1 \quad \text{または} \quad t>0 $$

**(2)**

$$ S(t)>\frac{27}{64} $$

すなわち，

$$ S(t)\in\left(\frac{27}{64},\infty\right) $$