解説

方針・初手

$f(x)$ は $x$ についての下に凸ではなく上に凸の2次関数である。したがって、まず $x$ に関する平方完成を行えば、固定した $t$ に対する最大値が直ちに求まる。

その最大値を $g(t)$ とおけば、今度は $t$ の3次関数の最小値を調べればよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=-2x^2+(8t-12)x+t^3-17t^2+39t-18 $$

である。

$x$ について平方完成すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=-2\left\{x^2-(4t-6)x\right\}+t^3-17t^2+39t-18 \\ &=-2\left\{(x-(2t-3))^2-(2t-3)^2\right\}+t^3-17t^2+39t-18 \\ &=-2(x-(2t-3))^2+2(2t-3)^2+t^3-17t^2+39t-18 \end{aligned} $$

ここで

$$ 2(2t-3)^2=2(4t^2-12t+9)=8t^2-24t+18 $$

より、

$$ \begin{aligned} f(x) &=-2(x-(2t-3))^2+(8t^2-24t+18)+t^3-17t^2+39t-18 \\ &=-2(x-(2t-3))^2+t^3-9t^2+15t \end{aligned} $$

となる。

第1項は常に $0$ 以下であるから、最大値は $x=2t-3$ のときにとる。よって、$f(x)$ の最大値は

$$ t^3-9t^2+15t $$

である。

次に、この最大値を

$$ g(t)=t^3-9t^2+15t $$

とおく。

$t\ge -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の範囲で $g(t)$ の最小値を求めるため、微分すると

$$ g'(t)=3t^2-18t+15=3(t-1)(t-5) $$

となる。

したがって、増減は次のようになる。

**(i)**

$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le t<1$ では $g'(t)>0$

**(ii)**

$1<t<5$ では $g'(t)<0$

**(iii)**

$t>5$ では $g'(t)>0$

よって、$t=1$ で極大、$t=5$ で極小となる。さらに、定義域の左端 $t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ も確認する。

まず、

$$ g(5)=125-225+75=-25 $$

また、

$$ \begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3-9\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &=-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{9}{2}-\frac{15\sqrt{2}}{2} \\ &=-\frac{31\sqrt{2}}{4}-\frac{9}{2} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ -\frac{31\sqrt{2}}{4}-\frac{9}{2}>-25 $$

であるから、最小値は $t=5$ のときの $-25$ である。

解説

この問題の本質は、2変数の式をいきなり複雑に扱わず、まず「$x$ に関する最大値」を固定した $t$ のもとで処理することである。$x$ についての2次関数で、しかも $x^2$ の係数が負であるから、平方完成により最大値がそのまま読める。

その後は1変数関数 $g(t)$ の最小値の問題になるので、通常の微分による増減で処理できる。2段階に分けて考えるのが標準的である。

答え

**(1)**

$f(x)$ の最大値は

$$ t^3-9t^2+15t $$

である。

**(2)**

$g(t)$ の最小値は

$$ -25 $$

である。