解説

方針・初手

まず $f(x)$ を微分して増減と極値を調べる。(2) は、その極大値・極小値と水平線 $y=a$ の位置関係を見ればよい。

また (3) では、$y=|f(x)|$ は $x<3$ で $y=-f(x)$、$x\geqq 3$ で $y=f(x)$ となるので、$y=f(x)$ の負の部分を $x$ 軸対称に折り返したグラフとして考える。

解法1

（1） 増減と極値

$$ f(x)=(x+1)^2(x-3) $$

であるから、

$$ f'(x)=2(x+1)(x-3)+(x+1)^2=(x+1){2(x-3)+(x+1)}=(x+1)(3x-5) $$

となる。

したがって、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=-1,\ \frac{5}{3} $$

である。

$f'(x)$ の符号を調べると、

• $x<-1$ のとき　$f'(x)>0$
• $-1<x<\dfrac{5}{3}$ のとき　$f'(x)<0$
• $x>\dfrac{5}{3}$ のとき　$f'(x)>0$

である。よって増減は次の通りである。

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $\dfrac{5}{3}$ | | $+\infty$ | | ------- | --------- | --- | ---- | --- | -------------- | --- | --------- | | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | | 増加 | | 減少 | | 増加 | |

次に極値を求める。

$$ f(-1)=0 $$

より、$x=-1$ で極大値 $0$ をとる。

また、

$$ f\left(\frac{5}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}+1\right)^2\left(\frac{5}{3}-3\right) =\left(\frac{8}{3}\right)^2\left(-\frac{4}{3}\right) =\frac{64}{9}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) =-\frac{256}{27} $$

より、$x=\dfrac{5}{3}$ で極小値 $-\dfrac{256}{27}$ をとる。

（2） $y=f(x)$ と $y=a$ の共有点の個数

これは方程式

$$ f(x)=a $$

の実数解の個数に等しい。

(1) より、$f(x)$ は

• 極大値 $0$
• 極小値 $-\dfrac{256}{27}$

をもつ三次関数である。したがって、水平線 $y=a$ との共有点の個数は、$a$ の値によって次のように決まる。

**(i)**

$a>0$ のとき

極大値 $0$ より上にあるので、右側の枝と 1 点で交わる。 したがって、共有点は $1$ 個である。

**(ii)**

$a=0$ のとき

$$ f(x)=(x+1)^2(x-3)=0 $$

より、

$$ x=-1,\ 3 $$

である。したがって、共有点は $2$ 個である。

**(iii)**

$-\dfrac{256}{27}<a<0$ のとき

極大値と極小値の間にあるので、3 つの枝とそれぞれ 1 点ずつ交わる。 したがって、共有点は $3$ 個である。

**(iv)**

$a=-\dfrac{256}{27}$ のとき

極小点で接し、さらに左側の枝と 1 点で交わる。 したがって、共有点は $2$ 個である。

**(v)**

$a<-\dfrac{256}{27}$ のとき

左側の枝とだけ 1 点で交わる。 したがって、共有点は $1$ 個である。

（3） $a\geqq 0$ のとき、$y=|f(x)|$ と $y=a$ の共有点の個数

$f(x)=(x+1)^2(x-3)$ であるから、

• $x<3$ では $f(x)\leqq 0$
• $x\geqq 3$ では $f(x)\geqq 0$

である。したがって、$y=|f(x)|$ は、$y=f(x)$ の $x<3$ の部分を $x$ 軸対称に折り返したグラフになる。

各区間での増減をみると、

• $(-\infty,-1)$ では $|f(x)|=-f(x)$ で、$\infty$ から $0$ へ減少
• $(-1,\dfrac{5}{3})$ では $|f(x)|=-f(x)$ で、$0$ から $\dfrac{256}{27}$ へ増加
• $(\dfrac{5}{3},3)$ では $|f(x)|=-f(x)$ で、$\dfrac{256}{27}$ から $0$ へ減少
• $(3,\infty)$ では $|f(x)|=f(x)$ で、$0$ から $\infty$ へ増加

となる。

よって、水平線 $y=a$ との共有点の個数は次のようになる。

**(i)**

$a=0$ のとき

$$ |f(x)|=0 \iff f(x)=0 $$

より、

$$ x=-1,\ 3 $$

であるから、共有点は $2$ 個である。

**(ii)**

$0<a<\dfrac{256}{27}$ のとき

上の 4 つの単調な部分とそれぞれ 1 点ずつ交わる。 したがって、共有点は $4$ 個である。

**(iii)**

$a=\dfrac{256}{27}$ のとき

$x=\dfrac{5}{3}$ で頂点に接し、さらに左右外側の 2 か所で交わる。 したがって、共有点は $3$ 個である。

**(iv)**

$a>\dfrac{256}{27}$ のとき

左端の枝と右端の枝でそれぞれ 1 点ずつ交わる。 したがって、共有点は $2$ 個である。

解説

この問題の本質は、三次関数のグラフの形を極値から正確に把握することである。

(2) は、極大値 $0$、極小値 $-\dfrac{256}{27}$ を基準にして、水平線 $y=a$ がグラフを何回切るかを場合分けすればよい。

(3) は、$|f(x)|$ を新しく計算し直すというより、$y=f(x)$ の負の部分を $x$ 軸対称に移したグラフと考えるのが最も速い。この見方ができると、共有点の個数は増減だけで即座に判定できる。

答え

**(1)**

$f(x)$ は $(-\infty,-1)$ で増加、$\left(-1,\dfrac{5}{3}\right)$ で減少、$\left(\dfrac{5}{3},\infty\right)$ で増加する。

極大値は $x=-1$ のとき $0$

極小値は $x=\dfrac{5}{3}$ のとき $-\dfrac{256}{27}$

**(2)**

$y=f(x)$ と $y=a$ の共有点の個数は

$$ \begin{cases} 1 & (a>0)\\ 2 & \left(a=0\right)\\ 3 & \left(-\dfrac{256}{27}<a<0\right)\\ 2 & \left(a=-\dfrac{256}{27}\right)\\ 1 & \left(a<-\dfrac{256}{27}\right) \end{cases} $$

**(3)**

$a\geqq 0$ のとき、$y=|f(x)|$ と $y=a$ の共有点の個数は

$$ \begin{cases} 2 & (a=0)\\ 4 & \left(0<a<\dfrac{256}{27}\right)\\ 3 & \left(a=\dfrac{256}{27}\right)\\ 2 & \left(a>\dfrac{256}{27}\right) \end{cases} $$