解説

方針・初手

まず $f(x)$ を因数分解して零点の構造を調べる。すると $f(x)$ の符号と極値がはっきりし、$y=|f(x)|$ は「$f(x)$ の $x$ 軸より下の部分を上に折り返したもの」として概形が分かる。

さらに、$-1\le x\le 1$ における最大値は、$|f(x)|$ の増減から候補点を絞り、$\alpha$ の範囲ごとに比較すればよい。

解法1

$f(x)$ を因数分解すると

$$ f(x)=\frac13 x^3-\alpha^2x-\frac23\alpha^3 =\frac13(x-2\alpha)(x+\alpha)^2 $$

である。

したがって $x=-\alpha$ は重解、$x=2\alpha$ は単解である。

また、

$$ f'(x)=x^2-\alpha^2=(x-\alpha)(x+\alpha) $$

より、$f(x)$ は

• $x<-\alpha$ で増加
• $-\alpha<x<\alpha$ で減少
• $x>\alpha$ で増加

する。

さらに

$$ f(-\alpha)=0,\qquad f(\alpha)=\frac13\alpha^3-\alpha^3-\frac23\alpha^3=-\frac43\alpha^3 $$

である。

（1） $y=|f(x)|$ の概形

$f(x)=\dfrac13(x-2\alpha)(x+\alpha)^2$ であり、$(x+\alpha)^2\ge 0$ だから、$f(x)$ の符号は $x-2\alpha$ の符号で決まる。よって

• $x<2\alpha$ で $f(x)\le 0$
• $x>2\alpha$ で $f(x)\ge 0$

である。

したがって

$$ |f(x)|= \begin{cases} -\dfrac13(x-2\alpha)(x+\alpha)^2 & (x\le 2\alpha),\\[2mm] \dfrac13(x-2\alpha)(x+\alpha)^2 & (x\ge 2\alpha) \end{cases} $$

となる。

よって $y=|f(x)|$ は次の特徴をもつ。

• $(-\alpha,0)$ で $x$ 軸に接する
• $(2\alpha,0)$ で $x$ 軸と折れ曲がって交わる
• $(\alpha,\dfrac43\alpha^3)$ で極大をとる
• $x\to\pm\infty$ で $|f(x)|\to\infty$

増減は、$g(x)=|f(x)|$ とおくと

$$ g'(x)= \begin{cases} \alpha^2-x^2 & (x<2\alpha),\\ x^2-\alpha^2 & (x>2\alpha) \end{cases} $$

であるから、

• $x<-\alpha$ で減少
• $-\alpha<x<\alpha$ で増加
• $\alpha<x<2\alpha$ で減少
• $x>2\alpha$ で増加

する。

したがって概形は、左から下がって $(-\alpha,0)$ に達し、そこから上がって $(\alpha,\dfrac43\alpha^3)$ を通り、再び下がって $(2\alpha,0)$ に達し、その後は増加する形である。

（2） $-1\le x\le 1$ における $|f(x)|$ の最大値

$g(x)=|f(x)|$ とおく。$\alpha$ の値によって、区間 $[-1,1]$ の中に現れる極値点が変わるので場合分けする。

（i） $0<\alpha\le \dfrac12$ のとき

このとき

$$ -\alpha,\ \alpha,\ 2\alpha \in [-1,1] $$

である。したがって最大値の候補は $x=-1,\alpha,1$ である。

それぞれ

$$ g(-1)=\left|-\frac13+\alpha^2-\frac23\alpha^3\right| =\frac13-\alpha^2+\frac23\alpha^3, $$

$$ g(\alpha)=\left|-\frac43\alpha^3\right| =\frac43\alpha^3, $$

$$ g(1)=\left|\frac13-\alpha^2-\frac23\alpha^3\right| =\frac13-\alpha^2-\frac23\alpha^3 $$

となる。

まず

$$ g(-1)-g(1)=\frac43\alpha^3>0 $$

である。

また

$$ g(-1)-g(\alpha) =\frac13-\alpha^2-\frac23\alpha^3 =\frac{1-3\alpha^2-2\alpha^3}{3} =\frac{(1-2\alpha)(\alpha+1)^2}{3}\ge 0 $$

である。

よってこの場合の最大値は

$$ g(-1)=\frac13-\alpha^2+\frac23\alpha^3 $$

である。

（ii） $\dfrac12\le \alpha\le 1$ のとき

このとき $2\alpha\ge 1$ なので、区間 $[-1,1]$ では $x=2\alpha$ は入らない。最大値候補は $x=-1,\alpha$ である。

それぞれ

$$ g(-1)=\frac13-\alpha^2+\frac23\alpha^3,\qquad g(\alpha)=\frac43\alpha^3 $$

であり、

$$ g(\alpha)-g(-1) =\frac{2\alpha^3+3\alpha^2-1}{3} =\frac{(2\alpha-1)(\alpha+1)^2}{3}\ge 0 $$

となる。

したがって最大値は

$$ g(\alpha)=\frac43\alpha^3 $$

である。

（iii） $\alpha\ge 1$ のとき

このとき $[-1,1]$ のすべてで $x<2\alpha$ であり、

$$ g'(x)=\alpha^2-x^2\ge 0 $$

だから、$g(x)$ は $[-1,1]$ で増加する。よって最大値は $x=1$ でとり、

$$ g(1)=\left|\frac13-\alpha^2-\frac23\alpha^3\right| =\alpha^2+\frac23\alpha^3-\frac13 $$

である。

解説

この問題の要点は、まず

$$ x^3-3\alpha^2x-2\alpha^3=(x-2\alpha)(x+\alpha)^2 $$

と因数分解できることに気づくことである。これにより、零点が $x=-\alpha$ の重解と $x=2\alpha$ の単解であることが分かり、$f(x)$ のグラフの形がかなり具体的に決まる。

そのうえで $|f(x)|$ は、$f(x)$ の負の部分を $x$ 軸に関して折り返したものと考えればよい。最大値の問題では、$|f(x)|$ の極値点が区間 $[-1,1]$ に入るかどうかが $\alpha=\dfrac12,\ 1$ を境に変わるため、その2点で場合分けするのが自然である。

答え

**(1)**

$y=|f(x)|$ は、$(-\alpha,0)$ で $x$ 軸に接し、$(\alpha,\dfrac43\alpha^3)$ で極大をとり、$(2\alpha,0)$ で折れ曲がって $x$ 軸と交わる。増減は

$x<-\alpha$ で減少

$-\alpha<x<\alpha$ で増加

$\alpha<x<2\alpha$ で減少

$x>2\alpha$ で増加

である。

**(2)**

$-1\le x\le 1$ における $|f(x)|$ の最大値は

$$ \max_{-1\le x\le 1}|f(x)|= \begin{cases} \dfrac13-\alpha^2+\dfrac23\alpha^3 & \left(0<\alpha\le \dfrac12\right),\\[2mm] \dfrac43\alpha^3 & \left(\dfrac12\le \alpha\le 1\right),\\[2mm] \alpha^2+\dfrac23\alpha^3-\dfrac13 & (\alpha\ge 1). \end{cases} $$

である。