解説

方針・初手

直線 $PQ$ の方程式をまず求める。

$P(0,2),Q(1,0)$ を通る直線の傾きは $-2$ であるから、直線 $PQ$ は

$$ y=-2x+2 $$

である。

放物線 $C$ は $y=(x-t)^2$ であるから、$PQ$ と $C$ の共有点は

$$ (x-t)^2=-2x+2 $$

を満たす点である。 したがって、各問いはこの式をどう読むかに帰着する。

解法1

**(1)**

$C$ が $P$ を通るとき

$P(0,2)$ が $C$ 上にあるので、

$$ 2=(0-t)^2=t^2 $$

より

$$ t=\pm \sqrt{2} $$

である。

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**(2)**

$C$ が直線 $PQ$ に接するとき

共有点を求める式は

$$ (x-t)^2=-2x+2 $$

すなわち

$$ x^2+(2-2t)x+(t^2-2)=0 $$

である。

直線と放物線が接するためには、この二次方程式が重解をもてばよい。 したがって判別式を $0$ とおく。

$$ \begin{aligned} (2-2t)^2-4(t^2-2)&=0 \\ 4-8t+4t^2-4t^2+8&=0 \\ 12-8t&=0 \end{aligned} $$

よって

$$ t=\frac{3}{2} $$

である。

このとき接点の $x$ 座標は重解であるから

$$ x=-\frac{2-2t}{2}=t-1=\frac{1}{2} $$

であり、$y$ 座標は

$$ y=-2\cdot \frac{1}{2}+2=1 $$

より、接点は

$$ \left(\frac{1}{2},1\right) $$

である。

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（3） 線分 $PQ$ と $C$ の共有点の個数

線分 $PQ$ 上では $0\le x\le 1$ であるから、

$$ f(x)=(x-t)^2+2x-2 $$

とおくと、線分 $PQ$ と $C$ の共有点の個数は、区間 $0\le x\le 1$ における方程式

$$ f(x)=0 $$

の解の個数に等しい。

$f(x)$ を展開すると

$$ f(x)=x^2+(2-2t)x+t^2-2 $$

である。上に凸の二次関数なので、頂点の位置と端点の値を調べる。

まず、

$$ f(0)=t^2-2,\qquad f(1)=(t-1)^2 $$

である。

また、頂点の $x$ 座標は

$$ x=t-1 $$

である。

（i） $t\le 1$ のとき

このとき頂点は $x\le 0$ にあるので、$f(x)$ は区間 $0\le x\le 1$ で単調増加である。

したがって、共有点の個数は $f(0)$ と $f(1)$ の符号で決まる。

• $t<-\sqrt{2}$ では $f(0)>0$ であり、共有点は $0$ 個。
• $t=-\sqrt{2}$ では $f(0)=0$ であり、共有点は $1$ 個。
• $-\sqrt{2}<t\le 1$ では $f(0)<0,\ f(1)\ge 0$ であり、共有点は $1$ 個。

（ii） $1<t<2$ のとき

このとき頂点は区間 $0<x<1$ にある。

頂点での値は

$$ f(t-1)=2t-3 $$

である。

**(a)**

$1<t<\dfrac{3}{2}$ のとき

$$ f(t-1)=2t-3<0 $$

となるので、区間内でグラフは $x$ 軸の下まで下がる。

• $1<t<\sqrt{2}$ では $f(0)<0,\ f(1)>0$ だから、共有点は $1$ 個。
• $t=\sqrt{2}$ では $f(0)=0$ で、さらに頂点の値は負だから、共有点は $2$ 個。
• $\sqrt{2}<t<\dfrac{3}{2}$ では $f(0)>0,\ f(1)>0$ だが、頂点の値が負なので、共有点は $2$ 個。

**(b)**

$t=\dfrac{3}{2}$ のとき

頂点の値が $0$ となり、接するので共有点は $1$ 個。

**(c)**

$\dfrac{3}{2}<t<2$ のとき

頂点の値が正であり、$f(x)>0$ だから共有点は $0$ 個。

（iii） $t\ge 2$ のとき

このとき頂点は $x\ge 1$ にあるので、$f(x)$ は区間 $0\le x\le 1$ で単調減少である。しかも

$$ f(1)=(t-1)^2>0 $$

だから区間全体で正となり、共有点は $0$ 個である。

以上より、共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & \left(t<-\sqrt{2},\ t>\dfrac{3}{2}\right) \\ 1 & \left(-\sqrt{2}\le t<\sqrt{2},\ t=\dfrac{3}{2}\right) \\ 2 & \left(\sqrt{2}\le t<\dfrac{3}{2}\right) \end{cases} $$

と変化する。

解説

放物線 $y=(x-t)^2$ は、頂点が $(t,0)$ にある上に開く放物線である。$t$ を動かすと放物線全体が水平方向に移動する。

（1） は点を代入するだけでよい。

（2） は直線と放物線の共有点を与える二次方程式が重解をもつことを使うのが定石である。

（3） では「直線 $PQ$」ではなく「線分 $PQ$」であることが重要であり、$x$ の範囲が $0\le x\le 1$ に制限される。このため、判別式だけでなく、区間内に解が入るかどうかを端点の値や頂点の位置で確認する必要がある。

答え

**(1)**

$$ t=\pm \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ t=\frac{3}{2} $$

接点は

$$ \left(\frac{1}{2},1\right) $$

**(3)**

線分 $PQ$ と $C$ の共有点の個数は

$$ \begin{cases} 0 & \left(t<-\sqrt{2},\ t>\dfrac{3}{2}\right) \\ 1 & \left(-\sqrt{2}\le t<\sqrt{2},\ t=\dfrac{3}{2}\right) \\ 2 & \left(\sqrt{2}\le t<\dfrac{3}{2}\right) \end{cases} $$

である。