解説

方針・初手

点 $R$ は「点 $P$ を通る傾き $m$ の直線と $y$ 軸との交点」であるから、まずこの直線の方程式から $R$ を求める。すると $\overrightarrow{RQ}=m\overrightarrow{RP}$ という条件から、$Q$ の座標はベクトルで直ちに表せる。

（2） は $P$ を放物線上の点 $P=(t,t^2-t)$ とおいて $Q$ を媒介変数表示し、$t$ を消去すればよい。

（3） は得られた $f(x)$ を積分して $I(m)$ を求め、$m>0$ で最小化する。

解法1

**(1)**

$P=(a,b)$ とする。

点 $P$ を通り、傾き $m$ の直線は

$$ y-b=m(x-a) $$

である。これと $y$ 軸、すなわち $x=0$ との交点が $R$ なので、

$$ R=(0,\ b-ma) $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{RP}=(a,\ b-(b-ma))=(a,\ ma) $$

であり、条件 $\overrightarrow{RQ}=m\overrightarrow{RP}$ より

$$ \overrightarrow{RQ}=(ma,\ m^2a) $$

となる。

よって

$$ Q=R+\overrightarrow{RQ} $$

であるから、

$$ Q=(0,\ b-ma)+(ma,\ m^2a) =(ma,\ b-ma+m^2a) $$

となる。したがって、$Q$ の座標は

$$ Q=(ma,\ b+(m^2-m)a) $$

である。

**(2)**

点 $P$ が放物線 $y=x^2-x$ 上を動くから、$P$ を

$$ P=(t,\ t^2-t) $$

とおくことができる。

（1） の結果より、対応する点 $Q$ は

$$ Q=\left(mt,\ (t^2-t)+(m^2-m)t\right) $$

すなわち

$$ Q=\left(mt,\ t^2+(m^2-m-1)t\right) $$

である。

ここで $Q=(x,y)$ とすると、

$$ x=mt $$

より、$m>0$ であるから

$$ t=\frac{x}{m} $$

と表せる。これを $y$ の式に代入すると、

$$ y=\left(\frac{x}{m}\right)^2+(m^2-m-1)\frac{x}{m} $$

よって

$$ y=\frac{x^2}{m^2}+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x $$

となる。

したがって、軌跡 $C$ の方程式は

$$ y=f(x)=\frac{x^2}{m^2}+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x $$

である。

**(3)**

（2） で得た $f(x)$ を用いると、

$$ I(m)=\int_0^1 f(x),dx =\int_0^1 \left\{\frac{x^2}{m^2}+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x\right\}dx $$

であるから、

$$ I(m)=\frac{1}{m^2}\int_0^1 x^2,dx+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)\int_0^1 x,dx $$

となる。よって

$$ I(m)=\frac{1}{3m^2}+\frac12\left(m-1-\frac{1}{m}\right) $$

である。

これを微分すると、

$$ I'(m)=-\frac{2}{3m^3}+\frac12+\frac{1}{2m^2} $$

したがって

$$ I'(m)=\frac{3m^3+3m-4}{6m^3} $$

となる。

ここで

$$ g(m)=3m^3+3m-4 $$

とおくと、

$$ g'(m)=9m^2+3>0 $$

であるから、$g(m)$ は単調増加である。したがって、$g(m)=0$ は高々1個しか正の解をもたない。

実際、

$$ g(0)=-4<0,\qquad g(1)=2>0 $$

であるから、$g(m)=0$ は $0<m<1$ にただ1つ解をもつ。

また、

$$ \lim_{m\to 0+}I(m)=+\infty,\qquad \lim_{m\to \infty}I(m)=+\infty $$

であるから、このただ1つの臨界点で $I(m)$ は最小となる。

そこで

$$ 3m^3+3m-4=0 $$

すなわち

$$ m^3+m-\frac43=0 $$

を解く。

$m=u+v$ とおき、$uv=-\frac13$ とすると、

$$ u^3+v^3=\frac43,\qquad u^3v^3=-\frac1{27} $$

であるから、$u^3,\ v^3$ は二次方程式

$$ t^2-\frac43 t-\frac1{27}=0 $$

の解である。これを解くと

$$ t=\frac{6\pm \sqrt{39}}{9} $$

となるので、

$$ u^3=\frac{6+\sqrt{39}}9,\qquad v^3=\frac{6-\sqrt{39}}9 $$

とできる。したがって

$$ m=\sqrt[3]{\frac{6+\sqrt{39}}9}+\sqrt[3]{\frac{6-\sqrt{39}}9} $$

である。

よって、$I(m)$ を最小にする $m$ は

$$ m=\sqrt[3]{\frac{6+\sqrt{39}}9}+\sqrt[3]{\frac{6-\sqrt{39}}9} $$

である。

解説

この問題の本質は、点 $Q$ が点 $R$ を基準として $\overrightarrow{RP}$ を $m$ 倍した位置にあるというベクトル条件を正確に式に直すことである。まず $R$ を求めれば、$Q$ は機械的に決まる。

（2） では、放物線上の点を媒介変数 $t$ でおくのが自然である。$x=mt$ となるので、$m>0$ という条件のもとで $t=\frac{x}{m}$ と消去できる。

（3） では、積分後にできる $I(m)$ は分数式になるが、微分して得られる分子 $3m^3+3m-4$ が単調増加であることを見れば、極値がただ1つであることがすぐに分かる。極値の一意性まで確認してから三次方程式を解くのが筋のよい処理である。

答え

**(1)**

$$ Q=(ma,\ b+(m^2-m)a) $$

**(2)**

$$ f(x)=\frac{x^2}{m^2}+\left(m-1-\frac{1}{m}\right)x $$

**(3)**

$$ I(m)\ \text{を最小にする}\ m\ \text{は}\ m=\sqrt[3]{\frac{6+\sqrt{39}}9}+\sqrt[3]{\frac{6-\sqrt{39}}9} $$

である。