解説

方針・初手

（1） は、まず $a=1$ を代入して微分し、増減を調べれば極値が分かる。そこからグラフの概形も決まる。

（2） は、$0<x<1$ における方程式 $f(x)=0$ の解の個数を調べる問題である。したがって、まず

$$ f'(x)=6(x-a)(x-4a) $$

と因数分解して、区間 $0<x<1$ での増減を場合分けする。そのうえで

$$ f(0)=a^2,\qquad f(1)=25a^2-15a+2=(5a-1)(5a-2) $$

および極値

$$ f(a)=a^2(11a+1),\qquad f(4a)=a^2(1-16a) $$

の符号を見ればよい。

解法1

**(1)**

$a=1$ のとき

$$ f(x)=2x^3-15x^2+24x+1 $$

である。

これを微分すると

$$ f'(x)=6x^2-30x+24=6(x-1)(x-4) $$

となる。

したがって、増減は次のようになる。

• $x<1$ で $f'(x)>0$
• $1<x<4$ で $f'(x)<0$
• $x>4$ で $f'(x)>0$

よって、$x=1$ で極大、$x=4$ で極小となる。

極値を求めると、

$$ f(1)=2-15+24+1=12 $$

$$ f(4)=2\cdot 4^3-15\cdot 4^2+24\cdot 4+1=128-240+96+1=-15 $$

である。

したがって、

• $x=1$ で極大値 $12$
• $x=4$ で極小値 $-15$

をとる。

また、$f(0)=1>0$ であり、$x\to -\infty$ で $f(x)\to -\infty$、$x\to \infty$ で $f(x)\to \infty$ だから、グラフは左下から上昇して点 $(1,12)$ で極大をとり、その後下降して点 $(4,-15)$ で極小をとり、再び上昇する形になる。したがって、$x$ 軸とは $(-\infty,0)$、$(1,4)$、$(4,\infty)$ でそれぞれ1回ずつ交わる。

**(2)**

一般に

$$ f(x)=2x^3-15ax^2+24a^2x+a^2 $$

であり、

$$ f'(x)=6(x-a)(x-4a) $$

である。これにより、区間 $0<x<1$ での増減を $a$ の値で場合分けする。

まず

$$ f(0)=a^2\geqq 0 $$

であることに注意する。

（i） $a\leqq 0$ または $a\geqq 1$ の場合

このとき、$0<x<1$ では $x-a,\ x-4a$ が同符号になるので

$$ f'(x)>0 $$

である。よって $f(x)$ は $0<x<1$ で単調増加であり、しかも $f(0)=a^2\geqq 0$ だから、$0<x<1$ に解をもたない。

（ii） $0<a<\dfrac14$ の場合

このとき $a,\ 4a$ はともに $0<x<1$ に入る。したがって、

• $0<x<a$ で増加
• $a<x<4a$ で減少
• $4a<x<1$ で増加

となる。つまり $x=a$ で極大、$x=4a$ で極小をとる。

それぞれの値は

$$ f(a)=2a^3-15a^3+24a^3+a^2=a^2(11a+1)>0 $$

$$ f(4a)=2(4a)^3-15a(4a)^2+24a^2(4a)+a^2=a^2(1-16a) $$

である。

（a） $0<a<\dfrac1{16}$ の場合

このとき $f(4a)>0$ であるから、極小値も正であり、区間 $0<x<1$ で $f(x)>0$ となる。よって解はない。

（b） $a=\dfrac1{16}$ の場合

このとき

$$ f(4a)=0 $$

であり、$x=4a=\dfrac14$ で極小値 $0$ をとる。したがって、$x=\dfrac14$ で $x$ 軸に接し、$0<x<1$ で共有点はただ1つである。

（c） $\dfrac1{16}<a<\dfrac14$ の場合

このとき $f(4a)<0$ であるから、$x=a$ と $x=4a$ の間に1つ解をもつ。

さらに、$x=4a$ 以後は増加するので、$0<x<1$ で共有点がただ1つになるためには、$x=1$ までにもう一度 $x$ 軸を横切らないこと、すなわち

$$ f(1)\leqq 0 $$

であればよい。

ここで

$$ f(1)=25a^2-15a+2=(5a-1)(5a-2) $$

であるから、$\dfrac1{16}<a<\dfrac14$ の範囲では

• $\dfrac1{16}<a<\dfrac15$ のとき $f(1)>0$
• $a=\dfrac15$ のとき $f(1)=0$
• $\dfrac15<a<\dfrac14$ のとき $f(1)<0$

となる。

したがって、この場合に共有点がただ1つとなるのは

$$ \frac15\leqq a<\frac14 $$

である。なお $a=\dfrac15$ では $x=1$ も解になるが、これは区間 $0<x<1$ に含まれないので、区間内の解は1つである。

（iii） $\dfrac14\leqq a<1$ の場合

このとき $a$ は区間内にあるが、$4a>1$ である。したがって、$0<x<1$ では

• $0<x<a$ で増加
• $a<x<1$ で減少

となる。

しかも

$$ f(a)=a^2(11a+1)>0 $$

だから、区間内の解がただ1つであるためには、右端で負になっていればよい。すなわち

$$ f(1)<0 $$

が必要十分である。

ここで

$$ f(1)=(5a-1)(5a-2) $$

だから、$\dfrac14\leqq a<1$ の範囲で $f(1)<0$ となるのは

$$ \frac14\leqq a<\frac25 $$

である。

以上をまとめると、求める条件は

$$ a=\frac1{16}\quad \text{または}\quad \frac15\leqq a<\frac25 $$

である。

解説

この問題の本質は、方程式 $f(x)=0$ を直接解くことではなく、区間 $0<x<1$ でのグラフの形を微分によって把握することである。

特に （2） では、$f'(x)=6(x-a)(x-4a)$ ときれいに因数分解できるので、極値の位置が $x=a,\ 4a$ であることがすぐ分かる。すると、区間 $0<x<1$ の中に極値がいくつ入るかで場合分けできる。

また、$f(0)=a^2\geqq 0$ が常に成り立つので、$0<x<1$ に解が1つだけあるかどうかは、極小値の符号や $f(1)$ の符号を使って判定するのが自然である。

答え

**(1)**

極大値は $12$（$x=1$）

極小値は $-15$（$x=4$）

グラフは、左下から上昇して $(1,12)$ で極大、その後下降して $(4,-15)$ で極小、さらに再び上昇する。

**(2)**

$$ a=\frac1{16}\quad \text{または}\quad \frac15\leqq a<\frac25 $$

である。