解説

方針・初手

球の中心を通る直線を円錐の軸とみなして、高さを変数にして体積を表す。

球の半径を $a$、円錐の高さを $h$ とすると、底面の半径 $r$ は球の断面から求まるので、体積 $V$ を $h$ の式に直して最大値を調べればよい。

解法1

球の中心を $O$、円錐の頂点を球の最上点にとる。底面は、頂点から距離 $h$ だけ下の平面で切った円であるとする。

このとき、底面の中心は軸上にあり、球の中心 $O$ から底面までの距離は $a-h$ である。

したがって、底面の半径を $r$ とすると、球の断面より

$$ r^2+(a-h)^2=a^2 $$

である。よって

$$ r^2=a^2-(a-h)^2=2ah-h^2=h(2a-h) $$

となる。

したがって円錐の体積 $V$ は

$$ V=\frac13\pi r^2h =\frac13\pi h{h(2a-h)} =\frac13\pi h^2(2a-h) $$

である。ここで $0<h<2a$ である。

これを $h$ で微分すると

$$ V'(h)=\frac13\pi \frac{d}{dh}\left(h^2(2a-h)\right) =\frac13\pi (4ah-3h^2) =\frac13\pi h(4a-3h) $$

となる。

したがって、$V'(h)=0$ となるのは

$$ h=0,\quad h=\frac{4a}{3} $$

であるが、$h=0$ は端点で体積 $0$ を与えるだけである。

また、

• $0<h<\dfrac{4a}{3}$ では $V'(h)>0$
• $\dfrac{4a}{3}<h<2a$ では $V'(h)<0$

であるから、$h=\dfrac{4a}{3}$ のとき体積は最大となる。

このとき

$$ V_{\max} =\frac13\pi \left(\frac{4a}{3}\right)^2\left(2a-\frac{4a}{3}\right) =\frac13\pi \cdot \frac{16a^2}{9}\cdot \frac{2a}{3} =\frac{32}{81}\pi a^3 $$

である。

解説

球に内接する直円錐では、軸が球の中心を通る形に自然に定まり、底面半径は球の断面の関係からすぐに求まる。

したがって、この問題の本質は

$$ V=\frac13\pi h^2(2a-h) $$

という「高さ $h$ の三次式」の最大化にある。

底面半径を直接変数にするより、高さを変数にした方が計算が素直である。

答え

最大体積は

$$ \frac{32}{81}\pi a^3 $$

であり、それを与える円錐の高さは

$$ \frac{4a}{3} $$

である。