解説

方針・初手

左辺の中身を平方完成する。

$$ x^2+2x-3=(x+1)^2-4 $$

したがって，方程式①は

$$ \left|(x+1)^2-4\right|=k+4 $$

となる。ここで $u=(x+1)^2$ とおくと $u\geqq 0$ であり，

$$ |u-4|=k+4 $$

であるから，

$$ u=4\pm (k+4) $$

すなわち

$$ (x+1)^2=k+8,\quad (x+1)^2=-k $$

の2つを調べればよい。解の個数や符号はこの2式から整理できる。

解法1

まず，絶対値が $k+4$ に等しいためには

$$ k+4\geqq 0 $$

すなわち

$$ k\geqq -4 $$

でなければならない。

また，

$$ (x+1)^2=k+8 $$

より

$$ x=-1\pm \sqrt{k+8} $$

を得る。$k\geqq -4$ だから $\sqrt{k+8}\geqq 2$ であり，この2解は常に異なり，

$$ -1-\sqrt{k+8}<0,\qquad -1+\sqrt{k+8}\geqq 1>0 $$

となる。したがって，この式からは常に負の解が1個，正の解が1個出る。

一方，

$$ (x+1)^2=-k $$

より，これは $k\leqq 0$ のときに限って解をもち，

$$ x=-1\pm \sqrt{-k} $$

である。

（ア） $k=1$ のとき

$k=1$ を代入すると

$$ (x+1)^2=9,\quad (x+1)^2=-1 $$

となる。後者は実数解をもたないから，

$$ x=-1\pm 3 $$

より

$$ x=-4,\ 2 $$

である。

（イ） 異なる3個の負の解をもつ条件

すでに $(x+1)^2=k+8$ からは負の解が常に1個出る。

したがって，全体で異なる3個の負の解をもつには，

$$ (x+1)^2=-k $$

から異なる2個の負の解が出ればよい。

その2解は

$$ -1-\sqrt{-k},\quad -1+\sqrt{-k} $$

であり，両方が負になる条件は

$$ -1+\sqrt{-k}<0 $$

すなわち

$$ \sqrt{-k}<1 $$

である。よって

$$ -k<1 $$

すなわち

$$ k>-1 $$

を得る。

さらに，異なる2解であるためには $k<0$ が必要である。よって求める範囲は

$$ -1<k<0 $$

である。

（ウ） 異なる4個の実数解をもつ条件

4個の実数解をもつには，

$$ (x+1)^2=k+8 $$

から2個，

$$ (x+1)^2=-k $$

からも2個の実数解が出る必要がある。後者が異なる2解をもつためには

$$ k<0 $$

が必要である。

また $k=-4$ のときは

$$ (x+1)^2=4,\quad (x+1)^2=4 $$

となって同じ2解しか出ないので，4個にはならない。

したがって，異なる4個の実数解をもつ条件は

$$ -4<k<0 $$

である。

（エ） 4個の実数解の和

$-4<k<0$ のとき，

$$ \sqrt{k+8}>2>\sqrt{-k}>0 $$

であるから，4個の解を小さい順に並べると

$$ \alpha_1=-1-\sqrt{k+8},\quad \alpha_2=-1-\sqrt{-k},\quad \alpha_3=-1+\sqrt{-k},\quad \alpha_4=-1+\sqrt{k+8} $$

となる。

よって，

$$ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 =(-1-\sqrt{k+8})+(-1-\sqrt{-k})+(-1+\sqrt{-k})+(-1+\sqrt{k+8}) =-4 $$

である。

（オ） $\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4=5$ のとき

積を組に分けて計算すると，

$$ \begin{aligned} \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4 &= (-1-\sqrt{k+8})(-1+\sqrt{k+8})(-1-\sqrt{-k})(-1+\sqrt{-k}) \end{aligned} $$

$$ =(1-(k+8))(1-(-k)) =(-(k+7))(k+1) $$

したがって，

$$ (-(k+7))(k+1)=5 $$

すなわち

$$ (k+7)(k+1)=-5 $$

であるから，

$$ k^2+8k+7=-5 $$

$$ k^2+8k+12=0 $$

$$ (k+2)(k+6)=0 $$

となる。ここで，4個の異なる実数解をもつ条件は $-4<k<0$ であったから，適するのは

$$ k=-2 $$

のみである。

解説

この問題は，絶対値の中身をそのまま追うより，

$$ x^2+2x-3=(x+1)^2-4 $$

と平方完成して $(x+1)^2$ に着目するのが本筋である。すると，もとの方程式は2つの二次方程式に分かれ，それぞれの解の個数や符号を機械的に判定できる。

特に，$-1\pm \sqrt{k+8}$ は常に「負1個，正1個」，$-1\pm \sqrt{-k}$ は $k$ の範囲によって「2個・1個・0個」と変化する。この見通しを持てると，3個の負の解や4個の実数解の条件がすぐ整理できる。

答え

**(ア)**

$-4,\ 2$

**(イ)**

$-1<k<0$

**(ウ)**

$-4<k<0$

**(エ)**

$-4$

**(オ)**

$-2$