解説

方針・初手

まず $f(x)$ を見やすい形に変形する。

$x+1$ をひとまとまりとみると、

$$ f(x)=(x+1)^3-3t^2(x+1)+2t^3 $$

となる。したがって、$y=x+1$ とおけば $f(x)=y^3-3t^2y+2t^3$ であり、これを因数分解すると極値や区間での増減が一気に分かる。

解法1

**(1)**

$2t^3-3t^2+1$ を因数分解する。

$t=1$ を代入すると

$$ 2-3+1=0 $$

より、$t-1$ を因数にもつ。

実際に割ると

$$ 2t^3-3t^2+1=(t-1)(2t^2-t-1) $$

であり、

$$ 2t^2-t-1=(2t+1)(t-1) $$

だから、

$$ 2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1) $$

である。

**(2)**

$f(x)$ が極小値 $0$ をもつことを示す。

先ほどの形を用いて $y=x+1$ とおくと、

$$ f(x)=y^3-3t^2y+2t^3 $$

である。これを因数分解すると、

$$ y^3-3t^2y+2t^3=(y-t)^2(y+2t) $$

となるから、

$$ f(x)=(x-t+1)^2(x+2t+1) $$

を得る。

次に微分すると、

$$ f'(x)=3x^2+6x-3(t^2-1) $$

であり、

$$ f'(x)=3{(x+1)^2-t^2}=3(x-t+1)(x+t+1) $$

となる。したがって、停留点は

$$ x=t-1,\quad x=-t-1 $$

である。

ここで $t>0$ なので $-t-1<t-1$ であり、また $f'(x)$ の符号は

• $x<-t-1$ で正
• $-t-1<x<t-1$ で負
• $x>t-1$ で正

となる。よって $x=t-1$ で極小となる。

そのときの値は、

$$ f(t-1)=(t-1-t+1)^2(t-1+2t+1)=0 $$

である。したがって、$f(x)$ は極小値 $0$ をもつ。

**(3)**

$-1\leqq x\leqq 2$ における $f(x)$ の最小値 $m$ と最大値 $M$ を求める。

区間 $-1\leqq x\leqq 2$ では

$$ x+t+1\geqq t>0 $$

であるから、この区間内では $f'(x)$ の符号は $x-t+1=x-(t-1)$ の符号だけで決まる。

したがって、増減は $t$ の値で場合分けされる。

**(i)**

$0<t\leqq 3$ のとき

このとき $t-1\in[-1,2]$ である。よって $x=t-1$ で最小となり、

$$ m=f(t-1)=0 $$

である。

最大値は端点で比較すればよい。まず、

$$ f(-1)=2t^3 $$

であり、また

$$ f(2)=8+12-6(t^2-1)+2t^3-3t^2+1 =2t^3-9t^2+27 $$

さらに、

$$ 2t^3-9t^2+27=(t-3)^2(2t+3) $$

である。

両者の差をとると、

$$ f(2)-f(-1)=27-9t^2=9(3-t^2) $$

となるから、

• $0<t<\sqrt{3}$ では $f(2)>f(-1)$
• $t=\sqrt{3}$ では $f(2)=f(-1)$
• $\sqrt{3}<t\leqq 3$ では $f(2)<f(-1)$

である。よって

$$ M= \begin{cases} (t-3)^2(2t+3) & (0<t\leqq \sqrt{3})\\ 2t^3 & (\sqrt{3}\leqq t\leqq 3) \end{cases} $$

となる。

**(ii)**

$t>3$ のとき

このとき $t-1>2$ であるから、区間 $[-1,2]$ では常に

$$ x-(t-1)<0 $$

となり、$f'(x)<0$ が成り立つ。したがって $f(x)$ は区間全体で単調減少である。

よって最大値は $x=-1$、最小値は $x=2$ で与えられ、

$$ M=f(-1)=2t^3 $$

$$ m=f(2)=(t-3)^2(2t+3) $$

となる。

以上をまとめると、

$$ m= \begin{cases} 0 & (0<t\leqq 3)\\ (t-3)^2(2t+3) & (t>3) \end{cases} $$

$$ M= \begin{cases} (t-3)^2(2t+3) & (0<t\leqq \sqrt{3})\\ 2t^3 & (t\geqq \sqrt{3}) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の本質は、$x+1$ に着目して

$$ f(x)=(x-t+1)^2(x+2t+1) $$

と因数分解することにある。これにより、極小値が $0$ になることはすぐ分かる。

また、区間 $[-1,2]$ では $x+t+1>0$ が常に成り立つため、$f'(x)$ の符号判定が $x-(t-1)$ のみで済む。したがって、増減表を複雑に書かなくても、$t-1$ が区間内に入るかどうかで最小値の位置が決まり、最大値は端点比較に帰着される。

端点比較では

$$ f(-1)=2t^3,\quad f(2)=(t-3)^2(2t+3) $$

を直接比べるのではなく、差

$$ f(2)-f(-1)=9(3-t^2) $$

を見るのが最短である。

答え

$$ \text{(1)}\quad 2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1) $$

$$ \text{(2)}\quad f(x)\text{ は }x=t-1\text{ で極小値 }0\text{ をもつ} $$

$$ \text{(3)}\quad m= \begin{cases} 0 & (0<t\leqq 3)\\ (t-3)^2(2t+3) & (t>3) \end{cases} $$

$$ M= \begin{cases} (t-3)^2(2t+3) & (0<t\leqq \sqrt{3})\\ 2t^3 & (t\geqq \sqrt{3}) \end{cases} $$