解説

方針・初手

$2^x$ と $2^{-x}$ が対になって現れているので、

$$ t=2^x+2^{-x} $$

とおくのが自然である。すると $t\geqq 2$ であり、$4^x+4^{-x}$、$8^x+8^{-x}$ も $t$ で表せる。これにより $g(x)$ を $t$ の多項式に直し、最小値を調べる。

解法1

$$ t=2^x+2^{-x} $$

とおく。相加平均と相乗平均の関係より

$$ t=2^x+2^{-x}\geqq 2 $$

である。

まず、

$$ 4^x+4^{-x}=(2^x)^2+(2^{-x})^2=(2^x+2^{-x})^2-2=t^2-2 $$

である。

また、$a=2^x,\ b=2^{-x}$ とすると $ab=1$ だから、

$$ 8^x+8^{-x}=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=t^3-3t $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} g(x) &=(t^3-3t)-10(t^2-2)+35t-55\\ &=t^3-10t^2+32t-35 \end{aligned} $$

である。ここで整理すると、

$$ \begin{aligned} g(x)+3 &=t^3-10t^2+32t-32\\ &=(t-2)(t^2-8t+16)\\ &=(t-2)(t-4)^2 \end{aligned} $$

よって、

$$ g(x)=(t-2)(t-4)^2-3 $$

を得る。しかも $t\geqq 2$ であるから、

$$ (t-2)(t-4)^2\geqq 0 $$

である。したがって

$$ g(x)\geqq -3 $$

となり、最小値は $-3$ である。

次に、等号成立条件を調べる。

$$ (t-2)(t-4)^2=0 $$

より、

$$ t=2 \quad \text{または} \quad t=4 $$

である。

**(i)**

$t=2$ のとき

$$ 2^x+2^{-x}=2 $$

であり、相加平均と相乗平均の等号条件から

$$ 2^x=2^{-x} $$

すなわち

$$ x=0 $$

である。

**(ii)**

$t=4$ のとき

$$ 2^x+2^{-x}=4 $$

$y=2^x\ (>0)$ とおくと、

$$ y+\frac{1}{y}=4 $$

より

$$ y^2-4y+1=0 $$

したがって

$$ y=2\pm \sqrt{3} $$

である。よって

$$ 2^x=2+\sqrt{3} \quad \text{または} \quad 2^x=2-\sqrt{3} $$

となるから、

$$ x=\log_2(2+\sqrt{3}) \quad \text{または} \quad x=\log_2(2-\sqrt{3}) $$

である。なお、$2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$ なので、

$$ x=\pm \log_2(2+\sqrt{3}) $$

とまとめてもよい。

解説

この問題の要点は、$2^x$ と $2^{-x}$ の対称性に注目して $t=2^x+2^{-x}$ とおくことである。すると高次の式も

$$ 4^x+4^{-x}=t^2-2,\qquad 8^x+8^{-x}=t^3-3t $$

と順に表せる。

その後は $t\geqq 2$ という条件を使って、$g(x)$ を因数分解した形

$$ g(x)=(t-2)(t-4)^2-3 $$

まで持ち込めば、最小値がただちに分かる。単に微分するよりも、対称式の処理として典型的で見通しのよい解法である。

答え

最小値は

$$ -3 $$

である。

そのときの $x$ の値は

$$ x=0,\ \pm \log_2(2+\sqrt{3}) $$

である。