解説

方針・初手

点 $P$ は円 $C_1$ を反時計回りに進み，点 $Q$ は円 $C_2$ を時計回りに進む。しかも $Q$ の速さは $P$ の 2 倍であるから，点 $P$ が中心角 $\theta$ だけ進んだとき，点 $Q$ は中心角 $2\theta$ だけ進んでいる。

したがって，まず $P,Q$ の座標を $\theta$ で表し，その後 $t=\cos\theta$ とおいて $PQ^2$ を整理すればよい。

解法1

点 $P$ は円 $C_1:x^2+y^2=1$ 上を，$A(1,0)$ から反時計回りに動くので，

$$ P=(\cos\theta,\ \sin\theta) \qquad (0\leqq \theta\leqq \pi) $$

である。

一方，点 $Q$ は中心 $B(-1,0)$，半径 $1$ の円 $C_2$ 上を，$D(-2,0)$ から時計回りに進む。 出発点 $D$ は，中心 $B$ から見て偏角 $\pi$ の位置にある。点 $P$ が $\theta$ だけ進んだとき，点 $Q$ はその 2 倍の $2\theta$ だけ時計回りに進むから，$Q$ の偏角は

$$ \pi-2\theta $$

となる。よって

$$ Q=\bigl(-1+\cos(\pi-2\theta),\ \sin(\pi-2\theta)\bigr) $$

であり，

$$ \cos(\pi-2\theta)=-\cos2\theta,\qquad \sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta $$

より

$$ Q=\bigl(-1-\cos2\theta,\ \sin2\theta\bigr) $$

を得る。これで （1） は求まった。

次に $t=\cos\theta$ とおく。すると

$$ \cos2\theta=2t^2-1,\qquad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta $$

であるから，

$$ P=(t,\ \sin\theta),\qquad Q=(-2t^2,\ 2t\sin\theta) $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \bigl(-2t^2-t,\ 2t\sin\theta-\sin\theta\bigr) \\ \bigl(-(2t^2+t),\ (2t-1)\sin\theta\bigr) \end{aligned} $$

であるから，

$$ PQ^2=(2t^2+t)^2+(2t-1)^2\sin^2\theta $$

となる。ここで $\sin^2\theta=1-t^2$ を用いると，

$$ PQ^2=(2t^2+t)^2+(2t-1)^2(1-t^2) $$

であり，展開して

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=4t^4+4t^3+t^2+(4t^2-4t+1)(1-t^2)\\ &=4t^4+4t^3+t^2+4t^2-4t+1-4t^4+4t^3-t^2\\ &=8t^3+4t^2-4t+1 \end{aligned} $$

となる。これで （2） が求まった。

最後に，$-1\leqq t\leqq 1$ の範囲で

$$ f(t)=8t^3+4t^2-4t+1 $$

の最小値を求める。

$$ f'(t)=24t^2+8t-4=4(6t^2+2t-1) $$

より，

$$ 6t^2+2t-1=0 $$

を解くと

$$ t=\frac{-1\pm \sqrt7}{6} $$

を得る。さらに

$$ f''(t)=48t+8 $$

であるから，

$$ t=\frac{-1+\sqrt7}{6} $$

では $f''(t)>0$ となり，ここで極小となる。

実際に値を代入すると，

$$ \begin{aligned} f!\left(\frac{-1+\sqrt7}{6}\right) &= \frac{47-14\sqrt7}{27} \end{aligned} $$

である。また端点では

$$ f(-1)=1,\qquad f(1)=9 $$

であるから，最小値は

$$ \frac{47-14\sqrt7}{27} $$

である。

解説

この問題の本質は，「速さが 2 倍」という条件を円周上の動きに対して中心角で読み替えることである。半径がどちらも $1$ なので，弧の長さと中心角がそのまま一致し，$Q$ が進む角は常に $2\theta$ になる。

その後は座標で処理するのが自然である。$PQ^2$ を直接扱うことで平方根を避けられ，最後は 3 次式の最小値問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ P=(\cos\theta,\ \sin\theta) $$

$$ Q=\bigl(-1-\cos2\theta,\ \sin2\theta\bigr) $$

**(2)**

$t=\cos\theta$ とすると，

$$ PQ^2=8t^3+4t^2-4t+1 $$

**(3)**

$$ t=\frac{-1+\sqrt7}{6} $$

のとき $PQ^2$ は最小となり，その最小値は

$$ \frac{47-14\sqrt7}{27} $$

である。