解説

方針・初手

$BP=t$ とおいて点 $P$ を座標で表すと計算が整理しやすい。 正方形を

$$ A(0,0),\ B(1,0),\ C(1,1),\ D(0,1) $$

と置けば、$P$ は辺 $BC$ 上にあるから

$$ P(1,t)\qquad (0<t\leqq 1) $$

と表せる。

このとき、$\angle BAP$ を $\theta$ とすると

$$ \tan \theta=t $$

である。 あとは、線分 $AP$ の垂直二等分線の方程式を求め、$AB,\ AD$ との交点 $Q,\ R$ を出して $QR$ を計算する。

解法1

$\theta=\angle BAP$ とする。

線分 $AP$ の中点は

$$ \left(\frac12,\frac t2\right) $$

であり、直線 $AP$ の傾きは $t$ であるから、その垂直二等分線の傾きは $-\dfrac1t$ である。 よって、垂直二等分線の方程式は

$$ y-\frac t2=-\frac1t\left(x-\frac12\right) $$

である。

$Q,\ R$ の座標

$Q$ は辺 $AB$ 上の点であり、$AB$ は $y=0$ であるから、

$$ -\frac t2=-\frac1t\left(x-\frac12\right) $$

より

$$ x=\frac{1+t^2}{2} $$

となる。したがって

$$ Q\left(\frac{1+t^2}{2},,0\right) $$

である。

また、$R$ は辺 $AD$ またはその延長上の点であり、$AD$ は $x=0$ であるから、

$$ y-\frac t2=\frac1{2t} $$

より

$$ y=\frac t2+\frac1{2t}=\frac{1+t^2}{2t} $$

となる。よって

$$ R\left(0,,\frac{1+t^2}{2t}\right) $$

である。

$QR$ の長さ

したがって、

$$ QR^2=\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^2+\left(\frac{1+t^2}{2t}\right)^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} QR^2 &=\frac{(1+t^2)^2}{4}\left(1+\frac1{t^2}\right) \\ &=\frac{(1+t^2)^2}{4}\cdot\frac{1+t^2}{t^2} \\ &=\frac{(1+t^2)^3}{4t^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ QR=\frac{(1+t^2)^{3/2}}{2t}. $$

ここで $\theta=\angle BAP$ とすると $t=\tan\theta$ なので、

$$ 1+t^2=1+\tan^2\theta=\sec^2\theta $$

より

$$ QR=\frac{\sec^3\theta}{2\tan\theta}. $$

さらに $s=\sin\theta$ とおくと、$\cos^2\theta=1-s^2$ であるから

$$ QR=\frac{1}{2\sin\theta\cos^2\theta} =\frac{1}{2s(1-s^2)}. $$

したがって、

$$ QR=\frac{1}{2\sin\angle BAP\left(1-\sin^2\angle BAP\right)}. $$

最小値

辺 $BC$ 上を $P$ が動くとき、

$$ 0<\theta\leqq \frac{\pi}{4} $$

であるから、

$$ 0<\sin\theta\leqq \frac1{\sqrt2} $$

である。

そこで

$$ x=\sin\theta \qquad \left(0<x\leqq \frac1{\sqrt2}\right) $$

とおくと、

$$ QR=\frac{1}{2x(1-x^2)} $$

である。よって $QR$ を最小にするには

$$ f(x)=x(1-x^2)=x-x^3 $$

を最大にすればよい。

微分すると

$$ f'(x)=1-3x^2 $$

であるから、

$$ f'(x)=0 \iff x=\frac1{\sqrt3} $$

である。これは区間 $0<x\leqq \dfrac1{\sqrt2}$ に含まれる。 また、

$$ f''(x)=-6x<0 $$

であるから、$x=\dfrac1{\sqrt3}$ で最大となる。

したがって

$$ f\left(\frac1{\sqrt3}\right) =\frac1{\sqrt3}\left(1-\frac13\right) =\frac{2}{3\sqrt3}. $$

ゆえに

$$ QR_{\min} =\frac{1}{2\cdot \dfrac{2}{3\sqrt3}} =\frac{3\sqrt3}{4}. $$

解説

この問題の本質は、点 $P$ を直接追いかけるのではなく、垂直二等分線の位置を座標で固定して処理する点にある。

$\angle BAP$ を使えとあるので、最終的には $\tan\theta=BP$ を経由して $\sin\theta$ に直す流れが自然である。 また、最小値の問題では、得られた式をそのまま微分するよりも、逆数の分母

$$ x(1-x^2) $$

を最大にする、と見た方が計算が簡潔である。

答え

$$ \textbf{(1)}\quad QR=\frac{1}{2\sin\angle BAP\left(1-\sin^2\angle BAP\right)}. $$

$$ \textbf{(2)}\quad QR の最小値は \frac{3\sqrt3}{4}. $$