解説

方針・初手

$,\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x,$は加法定理で1つにまとめられ，さらに $t=\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ とおくと $\sin 2x$ も $t$ で表せる。

まず $f(x)$ を $t$ の2次式に直し，その2次関数を $-1\leqq t\leqq 1$ の範囲で調べれば，最大・最小や方程式の解の個数が整理しやすい。

解法1

**(1)**

$t=\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ とおく。

$y=x+\dfrac{\pi}{4}$ とおけば $t=\cos y$ であり，$x=y-\dfrac{\pi}{4}$ である。

まず，

$$ \sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x =\sqrt{2}\sin\left(y-\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}\cos\left(y-\frac{\pi}{4}\right) $$

を計算する。

$$ \sqrt{2}\sin\left(y-\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt{2}\left(\sin y\cos\frac{\pi}{4}-\cos y\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sin y-\cos y $$

$$ \sqrt{2}\cos\left(y-\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt{2}\left(\cos y\cos\frac{\pi}{4}+\sin y\sin\frac{\pi}{4}\right) =\cos y+\sin y $$

したがって，

$$ \sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x =(\sin y-\cos y)-(\cos y+\sin y) =-2\cos y =-2t $$

また，

$$ \sin 2x=\sin\left(2y-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2y $$

であるから，

$$ \sin 2x=-(2\cos^2 y-1)=1-2t^2 $$

よって，

$$ f(x)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x-\sin 2x =-2t-(1-2t^2) =2t^2-2t-1 $$

となる。

（2） （1） より，

$$ f(x)=2t^2-2t-1 =2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{2} \qquad (-1\leqq t\leqq 1) $$

である。

この2次関数は上に開き，頂点は $t=\dfrac{1}{2}$ にあるので，最小値は

$$ -\frac{3}{2} $$

である。

一方，最大値は区間 $[-1,1]$ の端で比較すればよい。

$$ f(-1)=2+2-1=3,\qquad f(1)=2-2-1=-1 $$

したがって最大値は $3$ である。

よって，

$$ \text{最大値 }3,\qquad \text{最小値 }-\frac{3}{2} $$

である。

（3） 方程式 $f(x)=a$ は，（1） より

$$ 2t^2-2t-1=a $$

すなわち

$$ 2t^2-2t-(1+a)=0 \qquad (-1\leqq t\leqq 1) $$

と同値である。

ここで $t=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ であり，$0\leqq x<2\pi$ のとき $x+\dfrac{\pi}{4}$ は長さ $2\pi$ の区間をちょうど1周するから，

• $-1<t<1$ なら，$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=t$ は相異なる2つの解をもつ。
• $t=1$ または $t=-1$ なら，解は1つである。

したがって，$f(x)=a$ が相異なる2つの解をもつのは，$2t^2-2t-1=a$ が

• $-1<t<1$ にただ1つの解をもつとき，
• または重解を $-1<t<1$ にもつとき，

である。

そこで，$y=2t^2-2t-1$ のグラフを $-1\leqq t\leqq 1$ でみると，

$$ y=2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{2} $$

であり，

$$ y\left(-1\right)=3,\qquad y\left(\frac12\right)=-\frac32,\qquad y(1)=-1 $$

である。

よって水平線 $y=a$ との交点の個数は次のようになる。

• $a=-\dfrac{3}{2}$ のとき，$t=\dfrac12$ のみで，これは $-1<t<1$ にあるから，$x$ は2個。
• $-\dfrac{3}{2}<a<-1$ のとき，$t$ は2個とも $-1<t<1$ にあるから，$x$ は4個。
• $a=-1$ のとき，$t=1,,0$ となり，$x$ は $1+2=3$ 個。
• $-1<a<3$ のとき，$t$ はただ1つ $-1<t<1$ にあるから，$x$ は2個。
• $a=3$ のとき，$t=-1$ のみで，$x$ は1個。
• それ以外では $x$ は0個。

したがって条件は

$$ a=-\frac32 \quad \text{または} \quad -1<a<3 $$

である。

解説

この問題の要点は，三角関数のまま扱わず， $t=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ によって2次関数に落とすことである。

すると，最大・最小は2次関数の頂点と端点の比較に帰着し，方程式の解の個数も「$t$ の個数」と「$\cos\theta=t$ の解の個数」を分けて考えれば整理できる。

特に （3） では，$t$ が1つでも，それが $-1<t<1$ なら $x$ は2つ出る一方，$t=\pm 1$ では $x$ は1つしか出ない点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=2t^2-2t-1 \qquad \left(t=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right) $$

**(2)**

$$ \text{最大値 }3,\qquad \text{最小値 }-\frac{3}{2} $$

**(3)**

$$ a=-\frac32 \quad \text{または} \quad -1<a<3 $$